[论文解读] A multi-modes Monte Carlo finite element method for elliptic partial differential equations with random coefficients

Xiaobing Feng, Junxia Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于求解具有小扰动随机系数的椭圆PDE的多模式蒙特卡洛有限元方法。通过将解按扰动参数的幂级数展开，并利用不同模式间相同的确定性算子重复进行LU分解，该方法的计算复杂度与仅求解少数几个确定性问题相当，显著优于标准蒙特卡洛或随机伽辽金方法。

ABSTRACT

This paper develops and analyzes an efficient numerical method for solving elliptic partial differential equations, where the diffusion coefficients are random perturbations of deterministic diffusion coefficients. The method is based upon a multi-modes representation of the solution as a power series of the perturbation parameter, and the Monte Carlo technique for sampling the probability space. One key feature of the proposed method is that the governing equations for all the expanded mode functions share the same deterministic diffusion coefficients, thus an efficient direct solver by repeated use of the $LU$ decomposition matrices can be employed for solving the finite element discretized linear systems. It is shown that the computational complexity of the whole algorithm is comparable to that of solving a few deterministic elliptic partial differential equations using the $LU$ director solver. Error estimates are derived for the method, and numerical experiments are provided to test the efficiency of the algorithm and validate the theoretical results.

研究动机与目标

• 解决使用标准蒙特卡洛或随机伽辽金方法求解具有随机系数的椭圆PDE时计算成本过高的问题。
• 开发一种高效处理形式为 $ a_0 + \varepsilon \eta $ 的弱随机扩散系数的方法，其中 $ \varepsilon $ 较小。
• 利用各模式方程之间的结构相似性——共享相同的确定性算子——以实现在不同模式间重用LU分解。
• 实现在高维概率空间采样时，计算效率与仅求解少数几个确定性问题相当。
• 通过Karhunen-Loève展开将框架推广至一般随机介质，以增强适用性。

提出的方法

• 将解 $ u^\varepsilon $ 展开为 $ \varepsilon $ 的幂级数：$ u^\varepsilon = \sum_{n=0}^\infty \varepsilon^n u_n $，其中每个模式 $ u_n $ 满足具有确定性系数和随机源的椭圆PDE。
• 采用蒙特卡洛方法对随机场 $ \eta $ 的概率空间进行采样，同时使用有限元方法对每个模式方程进行离散化。
• 由于各模式共享 $ \nabla \cdot (a_0 \nabla) $ 算子，每个模式的有限元刚度矩阵完全相同，从而可在所有模式间重用LU分解矩阵。
• 对于每个采样实现 $ \omega_j $，求解 $ u_n(\omega_j) $ 仅需使用预计算的 $ L $ 和 $ U $ 矩阵进行前向和后向代入，极大缩短求解时间。
• 通过Karhunen-Loève展开将方法推广至更广泛的随机介质，将系数重写为 $ \overline{a}(x) + \varepsilon \zeta(x,\omega) $，其中 $ \varepsilon = O(\ell^{r/2}) $。
• 该方法具有灵活性，可与任意空间离散化方法结合使用，包括有限差分法、间断伽辽金法或谱方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过结合多模式展开与蒙特卡洛采样，降低求解弱随机系数椭圆PDE的计算成本？
• RQ2 如何利用所有模式函数共享的确定性算子，加速有限元离散化后线性系统的求解？
• RQ3 所提方法的计算复杂度与经典蒙特卡洛或随机伽辽金方法相比如何？
• RQ4 该方法在多大程度上可推广至初始形式并非 $ a_0 + \varepsilon \eta $ 的随机系数？
• RQ5 近似精度在多大程度上依赖于模式数 $ N $ 和扰动大小 $ \varepsilon $ ？

主要发现

• 由于各模式间可重用LU分解，所提多模式蒙特卡洛有限元方法的计算复杂度与仅使用LU直接求解器求解少数几个确定性椭圆问题相当。
• 当 $ \varepsilon = 0.2 $ 时，相对 $ L^2 $-范数误差从 $ N=2 $ 时的 0.0104 降至 $ N=5 $ 时的 0.0016，表明在中等模式数下即可获得高精度。
• 当 $ \varepsilon = 0.4 $ 时，误差从 $ N=2 $ 时的 0.0416 降至 $ N=5 $ 时的 0.0016，表明随着模式数增加，收敛性显著改善。
• 当 $ \varepsilon = 0.8 $ 时，误差从 $ N=2 $ 时的 0.1632 降至 $ N=5 $ 时的 0.0138，证实对于较大扰动，需要更多模式。
• 在 $ \varepsilon = 0.2 $ 且 $ N=5 $ 时误差趋于平缓，是由于空间离散化误差主导了总误差，而非模式展开本身。
• 当通过Karhunen-Loève展开将方法推广至一般随机介质时，该方法依然有效，通过将系数表示为 $ \overline{a}(x) + \varepsilon \zeta(x,\omega) $，其中 $ \varepsilon = O(\ell^{r/2}) $，可应用于相关长度为 $ \ell $ 的高斯随机场。