[论文解读] A multi-prover interactive proof for NEXP sound against entangled provers

Tsuyoshi Ito, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用 50

一句话总结

该论文证明了使用纠缠证明者的多证明者交互式证明系统所对应的语言类 MIP* 包含 NEXP——即非确定性指数时间可判定问题的类。作者证明了经典交互式证明系统中的关键组件——多重线性测试，在证明者共享纠缠时依然保持有效性，从而表明纠缠并未削弱多证明者交互式证明的计算能力。

ABSTRACT

We prove a strong limitation on the ability of entangled provers to collude in a multiplayer game. Our main result is the first nontrivial lower bound on the class MIP* of languages having multi-prover interactive proofs with entangled provers; namely MIP* contains NEXP, the class of languages decidable in non-deterministic exponential time. While Babai, Fortnow, and Lund (Computational Complexity 1991) proved the celebrated equality MIP = NEXP in the absence of entanglement, ever since the introduction of the class MIP* it was open whether shared entanglement between the provers could weaken or strengthen the computational power of multi-prover interactive proofs. Our result shows that it does not weaken their computational power: MIP* contains MIP. At the heart of our result is a proof that Babai, Fortnow, and Lund's multilinearity test is sound even in the presence of entanglement between the provers, and our analysis of this test could be of independent interest. As a byproduct we show that the correlations produced by any entangled strategy which succeeds in the multilinearity test with high probability can always be closely approximated using shared randomness alone.

研究动机与目标

• 为解决多证明者交互式证明系统中共享纠缠是否增强或削弱计算能力这一基本开放问题。
• 建立 MIP* 复杂度类的非平凡下界，证明其包含 NEXP，从而将经典结果 MIP = NEXP 扩展至含纠缠的量子情形。
• 分析多重线性测试在量子纠缠下的鲁棒性，证明其在证明者使用纠缠策略时依然保持有效性。
• 证明任何在多重线性测试中以高概率成功的纠缠策略，均可通过仅使用共享随机性进行良好近似，表明存在某种经典可模拟性。
• 通过证明纠缠在此情境下不会降低经典证明系统的可靠性，为量子复杂性理论提供基础性结果。

提出的方法

• 将 Babai、Fortnow 和 Lund（1991）提出的经典多重线性测试适配至含纠缠证明者的量子设置，并证明其在纠缠下的有效性。
• 提出一种新颖的多重线性测试分析方法，通过有限域上线性泛函的结构来限制纠缠策略下的成功概率。
• 应用偏差近似技术，表明任何以高概率成功的纠缠策略所产生的关联，必定接近于仅使用共享随机性所能达到的关联。
• 设计一种协议，其中验证者使用多项式时间算法生成函数上的偏差概率空间，从而在纠缠下实现有效性分析。
• 利用布尔电路的算术化以及低偏差概率空间的构造，实现对量子证明者的多重线性测试模拟。
• 将纠缠下多重线性测试的有效性与相关协议的完备性相结合，实现完美完备性与有界错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多证明者交互式证明系统中，若证明者之间共享纠缠，是否会使系统的计算能力增强或减弱？
• RQ2 作为经典交互式证明系统基石的多重线性测试，在允许证明者共享纠缠时是否依然有效？
• RQ3 纠缠证明者在多重线性测试中产生的关联是否可由经典共享随机性近似？
• RQ4 在纠缠条件下，MIP* 复杂度类的最小下界是什么？它是否包含 NEXP？
• RQ5 当证明者为量子纠缠时，经典交互式证明系统的有效性是否仍能保持？

主要发现

• MIP* 包含 NEXP，意味着使用纠缠证明者的多证明者交互式证明系统至少与经典多证明者交互式证明系统一样强大。
• 即使证明者使用纠缠策略，多重线性测试依然保持有效性，这是关键技术贡献，表明纠缠无法在该测试中用于欺骗。
• 任何在多重线性测试中以高概率成功的纠缠策略，均可通过仅使用共享经典随机性进行良好近似，表明在此情境下量子非局域性不构成优势。
• 协议的错误率被限制在 5/8 加上一个随域大小多项式减小的项，确保对任意非零输入，协议均保持有效性。
• 通过算术表达式构造函数上的低偏差概率空间，使得在纠缠下仍可验证多重线性。
• 该结果意味着 MIP ⊆ MIP*，表明纠缠不会降低多证明者交互式证明系统的计算能力。