[论文解读] A Multi-type Preferential Attachment Model.

Sebastian Rosengren|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出一种多类型偏好附加模型，其中不同类型的顶点根据先前计数动态决定的速率，生成其他类型的后代。对于具有正系数的线性偏好附加，证明在温和的正则性条件下，渐近度分布遵循幂律，并刻画了顶点群体的长期组成。

ABSTRACT

A multi-type preferential attachment tree is introduced, and studied using general multi-type branching processes. For the $p$-type case we derive a framework for studying the tree where a type $i$ vertex generates new type $j$ vertices with rate $w_{ij}(n_1,n_2,\ldots, n_p)$ where $n_k$ is the number of type $k$ vertices previously generated by the type $i$ vertex, and $w_{ij}$ is a non-negative function from $\mathbb{N}^p$ to $\mathbb{R}$. The framework is then used to derive results for trees with more specific attachment rates. In the case with linear preferential attachment---where type $i$ vertices generate new type $j$ vertices with rate $w_{ij}(n_1,n_2,\ldots, n_p)=\gamma_{ij}(n_1+n_2+\dots +n_p)+\beta_{ij}$, where $\gamma_{ij}$ and $\beta_{ij}$ are positive constants---we show that under mild regularity conditions on the parameters $\{\gamma_{ij}\}, \{\beta_{ij}\}$ the asymptotic degree distribution of a vertex is a power law distribution. The asymptotic composition of the vertex population is also studied.

研究动机与目标

• 开发一种使用多类型分支过程的多类型偏好附加树的一般框架。
• 分析具有动态附加速率的多类型网络中的渐近度分布。
• 研究此类网络中顶点群体的长期组成。
• 建立线性偏好附加情况下度分布收敛到幂律的条件。

提出的方法

• 通过类型特定速率 $ w_{ij}(n_1, n_2, \ldots, n_p) $ 建模顶点生成，其中 $ n_k $ 表示类型 $ i $ 顶点生成的类型 $ k $ 顶点的数量。
• 使用一般多类型分支过程分析树结构的随机演化。
• 聚焦于线性偏好附加情形：$ w_{ij}(n_1, \ldots, n_p) = \gamma_{ij}(n_1 + \cdots + n_p) + \beta_{ij} $，其中 $ \gamma_{ij}, \beta_{ij} > 0 $。
• 对 $ \{\gamma_{ij}\} $ 和 $ \{\beta_{ij}\} $ 施加正则性条件，以确保收敛性质。
• 通过分支过程的极限分析推导渐近度分布。
• 利用分支过程框架研究群体中各类顶点的渐近比例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多类型偏好附加树的度分布收敛到幂律？
• RQ2 此类模型中不同顶点类型的群体组成如何渐近演化？
• RQ3 参数 $ \gamma_{ij} $ 和 $ \beta_{ij} $ 在塑造网络长期结构中起什么作用？
• RQ4 该框架能否处理非线性附加速率，对网络拓扑有何影响？
• RQ5 附加速率对先前计数的动态依赖如何影响尺度自由特性的出现？

主要发现

• 在 $ \{\gamma_{ij}\} $ 和 $ \{\beta_{ij}\} $ 的温和正则性条件下，线性偏好附加模型中顶点的渐近度分布为幂律。
• 幂律指数由参数 $ \gamma_{ij} $ 和 $ \beta_{ij} $ 决定，但摘要中未给出确切值。
• 该模型确立了不同顶点类型之间存在明确定义的渐近群体组成的事实。
• 该框架成功将单类型偏好附加推广到具有动态、计数依赖附加速率的多类型场景。
• 使用多类型分支过程使度分布和群体动态的严格分析成为可能。
• 结果证实，在多类型网络中，线性偏好附加在极限下导致尺度自由行为。