[论文解读] A multidimensional Borg-Levinson theorem for magnetic Schr\\"odinger operators with partial spectral data

Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 13被引用 17

一句话总结

本文为磁 Schrödinger 算子建立了多维 Borg-Levinson 定理，证明了磁势 $dA$ 和电势 $V$ 可通过边界谱数据 ${\lambda_k, \partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}}$ 的渐近信息唯一确定（模规范等价），其中 $\lambda_k$ 为特征值，$\varphi_k$ 为特征函数。证明依赖于复几何光学解以及 Dirichlet-to-Neumann 映射的渐近分析，从而从部分谱数据中恢复磁势与电势。

ABSTRACT

We consider the multidimensional Borg-Levinson theorem of determining both the magnetic field $dA$ and the electric potential $V$, appearing in the Dirichlet realization of the magnetic Schr\\"odinger operator $H=(-{\ m i}\ abla+A)^2+V$ on a bounded domain $\\Omega\\subset\\mathbb R^n$, $n\\geq2$, from partial knowledge of the boundary spectral data of $H$. The full boundary spectral data are given by the set $\\{(\\lambda_{k},{\\partial_\ u \\phi_{k}}_{|\\partial\\Omega}):\\ k\\geq1\\}$, where $\\{ \\lambda_k:\\ k\\in \\mathbb N^* \\}$ is the non-decreasing sequence of eigenvalues of $H$, $\\{ \\phi_k:\\ k\\in \\mathbb N^* \\}$ an associated Hilbertian basis of eigenfunctions and $\ u$ is the unit outward normal vector to $\\partial\\Omega$. We prove that some asymptotic knowledge of $(\\lambda_{k},{\\partial_\ u \\phi_{k}}_{|\\partial\\Omega})$ with respect to $k\\geq1$ determines uniquely the magnetic field $dA$ and the electric potential $V$.

研究动机与目标

• 解决磁 Schrödinger 算子 $H = (-i\nabla + A)^2 + V$ 的反谱问题，即从部分边界谱数据中确定磁势 $dA$ 和电势 $V$。
• 将经典 Borg-Levinson 定理推广至 $n \geq 2$ 维的磁 Schrödinger 设置，并利用部分谱信息。
• 从特征值 $\lambda_k$ 与法向导数 $\partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}$ 在 $k \to \infty$ 时的渐近行为，建立 $H$ 模规范等价的唯一性。
• 通过证明磁势 $dA$ 和电势 $V$ 在给定数据下模规范变换唯一确定，克服规范歧义。

提出的方法

• 利用复几何光学（CGO）解构造磁 Schrödinger 方程的特殊解，其具有特定渐近行为。
• 采用与算子 $H_j$ 相关的 Dirichlet-to-Neumann 映射 $\Lambda_{j,\lambda}$，将边界谱数据与未知系数关联。
• 对谱数据差值在 $\mu \to -\infty$ 时进行渐近分析，得出函数 $G(\lambda, \mu, \Phi_1, \Phi_2)$ 收敛至极限 $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2)$。
• 利用 $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2) \to 0$ 当 $\tau \to +\infty$ 的性质，通过能量估计与谱比较推导出 $dA_1 = dA_2$ 与 $V_1 = V_2$。
• 通过证明 $A_2 - A_1 = \nabla p$（其中 $p \in W^{2,\infty}(\mathbb{R}^n) \cap H_0^1(\Omega)$）建立规范等价性，表明 $H_1$ 与 $H_2$ 通过 $e^{ip}$ 单位等价。
• 依赖于 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ 的连通性，确保 $p = 0$ 在 $\partial\Omega$ 上成立，从而保证规范变换在 $\Omega$ 上定义良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多维磁 Schrödinger 算子中，能否从边界谱数据 $\u007b\lambda_k, \partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}\}$ 的渐近信息唯一确定磁势 $dA$ 和电势 $V$？
• RQ2 规范歧义在反谱问题中对 $H = (-i\nabla + A)^2 + V$ 的确定性有多大影响？
• RQ3 如何利用特征值与特征函数法向导数的渐近行为重构 $dA$ 与 $V$？
• RQ4 在何种条件下，对域 $\Omega$ 及系数 $A$、$V$ 可保证在部分数据下反谱问题的唯一性？

主要发现

• 磁势 $dA$ 可从渐近边界谱数据 $\u007b\lambda_k, \partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}\}$ 唯一确定（$k \to \infty$ 时）。
• 电势 $V$ 可模规范等价性从相同渐近谱数据中唯一确定。
• Dirichlet-to-Neumann 映射之差 $S_1 - S_2$ 在 $\mu \to -\infty$ 时收敛于零，表明 $dA_1 = dA_2$。
• 函数 $G(\lambda, \mu, \Phi_1, \Phi_2)$ 在 $\mu \to -\infty$ 时收敛至 $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2)$，且当 $\tau \to +\infty$ 时 $G_*$ 趋近于零，这是证明 $V_1 = V_2$ 的关键。
• 通过 $A_2 - A_1 = \nabla p$ 建立规范等价性 $H_2 = e^{-ip} H_1 e^{ip}$，且 $p = 0$ 在 $\partial\Omega$ 上，确保变换在 $\Omega$ 上定义良好。
• 证明依赖于 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ 的连通性，以确保 $p$ 在边界上为零，这对规范等价性论证至关重要。