[论文解读] A multidimensional Szemerédi's theorem in the primes

Tatchai Titichetrakun|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过将Green-Tao定理推广到更高维配置，并利用伪随机测度与超图正则性，建立了素数中的多维Szemerédi型定理。它应用传递原理、加权超图正则性及筛法，证明了在几乎素数中存在角形及一般多维配置，将算术级数推广至稀疏素数集中的高维情形。

ABSTRACT

In this thesis, we investigate topics related to the Green-Tao theorem on arithmetic progression in primes in higher dimensions. Our main tool is the pseudorandom measure majorizing primes defined in [51] concentrated on almost primes. In chapter 2, we combine the sieve technique used in constructing pseudorandom measure (in this case, Goldston-Yildirim sum and almost primes) with the circle method of Birch to study the number of almost prime solutions of diophantine systems (with some rank conditions). Our rank condition is similar to the integer case, due to the heuristics that almost primes are pseudorandom. In chapter 3, we investigate the generalization of Green-Tao’s theorem to higher dimensions in the case of corner configuration. We apply the transference principle of Green-Tao (with hyperplane separation technique of Gowers) in this setting. This problem is also related to the densification trick in [16]. In chapter 4, we extend the result of Chapter 3 to obtain the full multi-dimensional analogue of the Green-Tao’s theorem, using hypergraph regularity method by directly proving a version of hypergraph removal lemma in the weighted hypergraphs. The method is to run an energy increment on a parametric weight systems of measures, rather than on a single measure space, to overcome the presence of intermediate weights. Contrary to [110], [68] where the authors investigate the problem using a measure supported on primes and infinite linear form conditions, relying on the Gowers Inverse Norms Conjecture.

研究动机与目标

• 将Green-Tao在素数中关于算术级数的定理推广至更高维配置，如角形和多维网格。
• 利用伪随机性启发式方法，在几乎素数集合中建立此类配置的存在性。
• 通过参数化权系统与能量增量论证，克服加权测度系统中中间权值带来的技术挑战。
• 提供多维Szemerédi定理在素数中的直接证明，而不依赖于无限线性形式条件或Gowers逆范数猜想。

提出的方法

• 使用通过Goldston-Yildirim和与几乎素数构造的伪随机测度来主导素数，以建模高维中素数的分布。
• 应用Birch的圆法，计数在类似整数情形的秩条件下的丢番图系统在几乎素数解中的数量。
• 结合Green-Tao的传递原理与Gowers的超平面分离技术，将稠密集中的结果转移至几乎素数的稀疏集。
• 引入参数化权系统测度以处理中间权值，使加权超图中的能量增量论证成为可能。
• 应用加权超图去除引理的版本，结合超图正则性方法，推导出多维配置的存在性。
• 避免依赖Gowers逆范数猜想与无限线性形式条件，与[110]和[68]中的先前方法不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 Green-Tao在素数中关于算术级数的定理能否推广至角形等更高维配置？
• RQ2 如何调整传递原理，以在稀疏集（如几乎素数）中证明多维模式的存在？
• RQ3 在处理参数化权系统与中间权值时，超图正则性方法需要做出哪些修改？
• RQ4 能否在不假设Gowers逆范数猜想的前提下证明素数中的多维Szemerédi定理？
• RQ5 在高维丢番图系统背景下，几乎素数在多大程度上表现出伪随机性？

主要发现

• 本文证明了在几乎素数中存在角形配置，将Green-Tao定理推广至更高维情形。
• 通过在加权超图中使用直接的超图正则性方法，证明了素数中多维Green-Tao定理的类比。
• 该方法通过引入参数化权系统成功克服了中间权值的挑战，使能量增量论证得以实现。
• 结果的取得不依赖于Gowers逆范数猜想或无限线性形式条件，与先前工作形成鲜明区别。
• 在伪随机性启发式下，丢番图系统的秩条件在几乎素数中得以保持，验证了几乎素数作为高维中素数模型的有效性。
• 将圆法应用于几乎素数解，证实了基于筛法的伪随机测度与经典解析数论方法的一致性。