[论文解读] A multigrid algorithm for the $p$-version of the Virtual Element Method

Paola F. Antonietti, Lorenzo Mascotto+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于二维泊松问题的 $p$-版本虚拟元方法（VEM）的多重网格算法，采用多项式阶数降低的W-循环策略处理粗网格层次。通过引入辅助VEM空间以构建可计算的 prolongation 算子，该方法实现了均匀收敛性，并为PCG方法提供了均匀的预条件子，数值结果验证了其在各类多边形网格和多项式阶数下的鲁棒性能。

ABSTRACT

We present a multigrid algorithm for the solution of the linear systems of equations stemming from the $p-$version of the Virtual Element discretization of a two-dimensional Poisson problem. The sequence of coarse spaces are constructed decreasing progressively the polynomial approximation degree of the Virtual Element space, as in standard $p$-multigrid schemes. The construction of the interspace operators relies on auxiliary Virtual Element spaces, where it is possible to compute higher order polynomial projectors. We prove that the multigrid scheme is uniformly convergent, provided the number of smoothing steps is chosen sufficiently large. We also demonstrate that the resulting scheme provides a uniform preconditioner with respect to the number of degrees of freedom that can be employed to accelerate the convergence of classical Krylov-based iterative schemes. Numerical experiments validate the theoretical results.

研究动机与目标

• 开发一种高效迭代求解器，用于求解 $p$-版本VEM离散化二维泊松问题所产生的线性系统。
• 解决在一般多边形网格上构造一致粗网格求解器的挑战，其中标准VEM自由度不足以支持插值。
• 在足够光滑步数下，证明 $p$-多重网格W-循环算法的均匀收敛性。
• 证明所提出的多重网格格式可作为预条件共轭梯度（PCG）方法的均匀预条件子。
• 通过在结构化和非结构化多边形网格上的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 采用W-循环 $p$-多重网格算法，其中粗网格层次通过逐步降低VEM空间的多项式阶数形成，直至线性元为止。
• 引入辅助VEM空间，以支持可计算的 prolongation 算子的构造，因为仅靠标准自由度无法支持此类算子。
• 通过辅助空间中可用的高阶多项式投影算子构建层间算子，确保各层次间的一致性。
• 在理论分析中使用Richardson平滑器以证明均匀收敛性，而在数值实验中采用对称化高斯-赛德尔平滑器以提高收敛速率。
• 将多重网格格式作为PCG方法的预条件子进行测试，收敛性通过残差降低至 $10^{-6}$ 以下来衡量。
• 在正方形、Voronoi-Lloyd以及正六边形多边形网格上开展数值实验，以评估不同网格类型下的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般多边形网格上为 $p$-版本虚拟元方法构建 $p$-多重网格算法？
• RQ2 当标准VEM自由度不足以支持插值时，如何设计一致的 prolongation 算子？
• RQ3 所提出的多重网格格式是否在自由度数量上表现出均匀收敛性？
• RQ4 该多重网格格式能否作为Krylov求解器（如PCG）的均匀预条件子？
• RQ5 平滑器选择（Richardson与高斯-赛德尔）如何影响算法的收敛行为？

主要发现

• 基于经典多重网格框架，证明了当光滑步数足够多时，$p$-多重网格W-循环算法可实现均匀收敛。
• 为保证收敛所需的最少后光滑步数取决于多项式阶数 $p$，在不同网格类型下，$p=2$ 至 $p=6$ 时取值范围为2至4。
• 采用对称化高斯-赛德尔平滑器相比Richardson平滑器显著降低了收敛因子，例如在Voronoi-Lloyd网格上，当 $p=5$ 且 $m=14$ 时，收敛因子降至0.35以下。
• 多重网格预条件子确保PCG的迭代次数在 $p$ 增大时几乎保持不变，表明其具备均匀预条件性，尤其在采用高斯-赛德尔平滑时表现更优。
• 不完全Cholesky预条件子无法提供均匀收敛，与所提出的多重网格预条件子形成鲜明对比。
• 该方法在结构化（六边形）和非结构化（Voronoi-Lloyd）多边形网格上均保持鲁棒性能，证实了其通用性与可扩展性。