[论文解读] A multilevel based reweighting algorithm with joint regularizers for sparse recovery

Jackie Ma, Maximilian März|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 43被引用 22

一句话总结

本文提出了一种多级重加权ADMM/分裂Bregman算法，通过将迭代重加权与联合总广义变化（TGV）正则化相结合，实现了更优的稀疏图像重建。通过将权重自适应地应用于多尺度变换系数（如小波或脊波）来实现，该方法在计算开销极低的情况下显著提升了重建质量，在傅里叶和拉东测量设置下均优于当前最先进方法。

ABSTRACT

Sparsity is one of the key concepts that allows the recovery of signals that are subsampled at a rate significantly lower than required by the Nyquist-Shannon sampling theorem. Our proposed framework uses arbitrary multiscale transforms, such as those build upon wavelets or shearlets, as a sparsity promoting prior which allow to decompose the image into different scales such that image features can be optimally extracted. In order to further exploit the sparsity of the recovered signal we combine the method of reweighted $\ell^1$, introduced by Candès et al., with iteratively updated weights accounting for the multilevel structure of the signal. This is done by directly incorporating this approach into a split Bregman based algorithmic framework. Furthermore, we add total generalized variation (TGV) as a second regularizer into the split Bregman algorithm. The resulting algorithm is then applied to a classical and widely considered task in signal- and image processing which is the reconstruction of images from their Fourier measurements. Our numerical experiments show a highly improved performance at relatively low computational costs compared to many other well established methods and strongly suggest that sparsity is better exploited by our method.

研究动机与目标

• 通过整合多级稀疏结构与自适应重加权，提升压缩感知中稀疏图像重建的质量。
• 解决标准$β$-最小化和总变差（TV）正则化方法的局限性，如阶梯效应伪影和稀疏性促进不足的问题。
• 开发一种灵活高效的算法，利用多尺度变换（如小波、脊波）和通过TGV实现的联合正则化。
• 在多种成像问题中实现鲁棒性能，包括傅里叶和拉东测量，且参数调优极少。
• 证明：将迭代重加权适配至多级系数可显著提升与标准方法相比的重建保真度。

提出的方法

• 采用分裂Bregman框架与ADMM求解稀疏恢复的约束优化问题。
• 提出一种多级自适应重加权策略，根据多尺度系数（如小波或脊波系数）的稀疏结构更新加权矩阵$W_k$。
• 引入二阶总广义变化（TGV）正则项，以抑制阶梯效应并改善边缘保持。
• 在分裂Bregman子问题中使用自适应多级阈值的软阈值处理，实现闭式解并保持低计算成本。
• 将算法应用于傅里叶和拉东测量模型，当测量矩阵不可对角化时，通过预处理共轭梯度法（PCG）迭代求解线性系统。
• 采用混合正则化方案，结合稀疏化变换（$\Psi$）与TGV，联合促进解的稀疏性与平滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可通过将迭代重加权适配至多级变换系数，显著提升稀疏恢复中的图像重建质量？
• RQ2 与标准TV或单稀疏性方法相比，联合使用TGV与多级重加权$\ell^1$-最小化在伪影抑制与边缘保持方面表现如何？
• RQ3 所提算法在不同成像模态（如傅里叶和拉东测量）中保持鲁棒性的程度如何？
• RQ4 与标准压缩感知求解器相比，多级重加权的计算开销有多大？其带来的重建增益是否合理？
• RQ5 该算法能否有效应用于真实世界中的3D医学成像数据，如相关工作中扩展至3D脊波所示？

主要发现

• 所提出的WIRL1+TGV方法在45个扇形束投影下重建脑部幻像时，相对误差（RE）为0.009，SSIM为0.999，显著优于TV（RE=0.094）和TGV（RE=0.094）。
• 在傅里叶测量实验中，该算法实现了0.999的重建SSIM和0.008的RE，优于所有其他方法，包括WIRL1和单独使用TGV的方法。
• 重加权的计算成本可控，WIRL1+TGV完整算法在傅里叶数据上耗时350.61秒，在拉东数据上耗时1117秒，仅比TGV略高，远优于其他重加权方法。
• 该算法对信号变化具有鲁棒性，在不同测试信号和测量类型下均保持了高质量的重建效果。
• 使用冗余变换（小波、脊波）实现了有效的稀疏表示，尤其在曲线结构上表现更优，优于传统小波。
• 即使在测量矩阵相干性较高的情况下，该方法也能从极少的拉东投影（45个角度）中实现近乎完美的恢复，表明其在挑战性条件下仍能有效保留信息。