[论文解读] A multipartite version of the Hajnal-Szemerédi theorem for graphs and hypergraphs

Allan Lo, Klas Markström|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文建立了图与超图的Hajnal-Szemerédi定理的多部版本，证明了当平衡的 $t$-部图的最小共度超过 $((t-1)/t + \gamma)n$ 时，其包含一个完美的 $K_t$-匹配，其中 $n$ 足够大，从而渐近确认了Fischer的猜想。该结果通过共度条件推广至 $k$-均匀超图，利用概率分割和集中不等式控制各部分之间的边分布。

ABSTRACT

A perfect $K_t$-matching in a graph $G$ is a spanning subgraph consisting of vertex disjoint copies of $K_t$. A classic theorem of Hajnal and Szemerédi states that if $G$ is a graph of order $n$ with minimum degree $δ(G) \ge (t-1)n/t$ and $t| n$, then $G$ contains a perfect $K_t$-matching. Let $G$ be a $t$-partite graph with vertex classes $V_1$,..., $V_t$ each of size $n$. We show that if every vertex $x \in V_i$ is joined to at least $((t-1)/t + γ)n $ vertices of $V_j$ for $i e j$, then $G$ contains a perfect $K_t$-matching, thus verifying a conjecture of Fisher asymptotically. Furthermore, we consider a generalisation to hypergraphs in terms of the codegree.

研究动机与目标

• 解决Fischer关于在改进的最小共度条件下，平衡 $t$-部图中存在完美 $K_t$-匹配的猜想。
• 将Hajnal-Szemerédi定理推广至图与 $k$-均匀超图的多部设置。
• 在最小 $l$-度条件约束下，建立 $t$-部 $k$-图中完美 $K_t^k$-匹配的渐近存在性。
• 提供一种构造性、概率性的方法，使得此类匹配的阈值 $n_0$ 显著小于依赖于正则性引理的先前证明。

提出的方法

• 通过将顶点随机划分为 $t$ 个类，从给定的 $k$-图 $H$ 构造一个平衡的 $t$-部子图 $H'$。
• 应用Chernoff不等式，限制某顶点集的邻接超图中的匹配在各部分间分布不均的概率。
• 将邻接超图分解为 $O(n^{k-2})$ 条边不相交的匹配，以支持概率分析。
• 利用集中不等式表明，以正概率，所有 $l$-集在 $H'$ 中的共度接近期望值 $\frac{m!}{t^m}\deg^H(T)$，其中 $m = k-l$。
• 重新分配至多 $O(n^{1/2} (\ln n)^{1/4})$ 个顶点，以实现精确的等分，同时保持共度估计不变。
• 推导出一个关键不等式：$\deg^{H'}_J(T) \geq \frac{m!}{t^m}\deg^H(T) - O(\sqrt{k \ln n} \cdot n^{m - 1/2})$，确保共度的保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于足够大的 $n$，一个最小共度超过 $((t-1)/t + \gamma)n$ 的平衡 $t$-部图是否包含一个完美的 $K_t$-匹配？
• RQ2 Hajnal-Szemerédi定理能否在超过阈值 $((t-1)/t)n$ 的余量下推广至多部设置？
• RQ3 在 $t$-部 $k$-图中，确保存在完美 $K_t^k$-匹配的最小共度条件是什么？
• RQ4 能否使此类匹配的阈值 $n_0$ 显著小于依赖于正则性引理的证明中的值？

主要发现

• 对于任意 $\gamma > 0$，存在 $n_0 = n_0(t, \gamma)$，使得每个满足 $n \geq n_0$ 且 $\widetilde{\delta}(G) \geq \left(\frac{t-1}{t} + \gamma\right)n$ 的平衡 $t$-部图都包含一个完美的 $K_t$-匹配。
• 该结果渐近确认了Fischer的猜想，表明 $+\gamma n$ 的余量足以在 $n$ 足够大时保证匹配的存在。
• 该方法得到的 $n_0$ 显著小于Keevash和Mycroft使用超图爆破引理证明中的值。
• 对于 $k$-均匀超图，本文证明了 $\widetilde{\delta}_l(H) \geq \phi_l^k(t,n)$ 可保证存在一个完美的 $K_t^k$-匹配，其中 $\phi_l^k(t,n)$ 定义为该类共度阈值的最小值。
• 概率分割技术确保诱导出的 $t$-部子图中，共度误差项保持在 $O(\sqrt{k \ln n} \cdot n^{m - 1/2})$ 以内，其中 $m = k-l$。
• 分析表明，以高概率，所有 $l$-集在 $t$-部子图中的共度接近期望值，从而支持完美匹配的构造。