[论文解读] A multiplicity result for nonlocal problems involving nonlinearities with bounded primitive

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 4被引用 10

一句话总结

本论文通过在非仿射参数依赖情形下新颖地应用临界点定理（[2]中的定理A），建立了非局部椭圆问题在非线性项原函数有界情况下的多重解结果。在非线性项和非局部系数满足特定条件下，证明了当参数值较大时，$ H^1_0(\theta) $ 中至少存在三个弱解，且其范数较小。

ABSTRACT

The aim of this paper is to provide the first application of Theorem 3 of [2] in a case where the dependence of the underlying equation from the real parameter is not of affine type.

研究动机与目标

• 解决[2]中定理A在非仿射参数依赖情形下应用不足的问题。
• 建立涉及有界原函数非线性项的非局部问题的多重解结果。
• 将抽象临界点定理的适用性扩展至具有非仿射参数依赖的非局部PDE。
• 在强制性和紧致性条件下，提供一个证明多重弱解存在的通用框架。
• 通过一个涉及原函数积分的有理非线性项的显式例子，演示该方法。

提出的方法

• 将[2]中的定理A应用于非仿射参数依赖的泛函框架，其中参数以非线性方式出现在非线性项中。
• 定义泛函 $ \tilde{\Psi}(u,\lambda) = \frac{1}{2}K(\|u\|^2) - \int_\Omega G(x,u)dx - \mu H\left(\int_\Omega F(x,u)dx - \lambda\right) $，其临界点即为弱解。
• 对 $ k $、$ h $、$ f $ 和 $ g $ 施加条件：$ k $ 在 $ t>0 $ 时连续且正，$ h $ 连续、非减，且 $ h^{-1}(0) = \{0\} $，且 $ \sup |F|, \sup |G| < \infty $。
• 利用 $ \psi(u) = \frac{1}{2}K(\|u\|^2) $ 的导数具有连续逆的性质，确保满足Palais-Smale条件。
• 应用定理B的一个变体，引入含 $ \mu H(\cdot - \lambda) $ 的扰动，通过严格不等式条件确保存在三个解。
• 建立一个阈值 $ \theta^* $，使得当 $ \mu > \theta^* $ 时，解的多重性成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 定理A是否可应用于非仿射参数依赖的非局部PDE问题？
• RQ2 在何种条件下，具有有界原函数非线性项的非局部椭圆问题至少存在三个弱解？
• RQ3 参数依赖的非线性在多重解结果中起什么作用？
• RQ4 如何在 $ H^1_0(\Omega) $ 中确保相关泛函的强制性和紧致性？
• RQ5 泛函 $ \theta^* $ 在确定多重性阈值中的意义是什么？

主要发现

• 对每个 $ \mu > \theta^* $，存在一个开区间 $ A \subseteq ]\alpha_f, \beta_f[ $，使得对每个 $ \lambda \in A $，问题在 $ H^1_0(\Omega) $ 中至少存在三个弱解。
• 弱解在 $ H^1_0(\Omega) $ 中的范数小于某个 $ \rho > 0 $，且对 $ \lambda \in A $ 一致有界。
• 泛函 $ \theta^* $ 定义为所有满足 $ \int_\Omega F(x,u(x))dx \neq 0 $ 的函数的下确界，且为使结果成立，必须非负。
• 该结果适用于满足 $ \sup_{\xi \in \mathbb{R}} |F(\xi)| < \infty $ 的非线性项 $ f $，其中 $ F(\xi) = \int_0^\xi f(s)ds $，且 $ f \in \mathcal{A} $。
• 构造了一个显式例子，其中 $ h(s) = \frac{s}{(\text{meas}(\Omega)\text{osc}_\mathbb{R}F)^2 - s^2} $，表明该方法适用于有理非线性项。
• 该方法成功填补了文献空白，首次将定理A应用于非仿射参数依赖的情形。