[论文解读] A multivalued version of the Radon-Nikodym theorem, via the single-valued Gould integral

Domenico Candeloro, Anca Croitoru+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Advanced Banach Space Theory被引用 5

一句话总结

本文利用实值函数关于非加性、紧凸值测度的Gould积分，建立了一个新颖的多值Radon-Nikodým定理。通过借助Rådström嵌入定理，将集值测度表示在Banach格中，证明了在强绝对连续性和穷竭条件下，可加多测度可表示为有界可测函数关于模糊多子测度的Gould积分，从而将先前结果推广至非加性情形，即使在有限维情况下亦成立。

ABSTRACT

Some topics concerning the Gould integral are presented here: new results of integrability on finite measure spaces with values in an M-space are given, together with a Radon-Nikodym theorem relative to a Gould-type integral of real functions with respect to a multisubmeasure.

研究动机与目标

• 在集值积分背景下，为非加性测度发展Radon-Nikodým定理的多值版本。
• 引入并研究通过Gould积分关于模糊多子测度的可积多测度概念。
• 确立可加多测度可表示为实值函数关于非加性、紧凸值测度的Gould型积分的条件。
• 将现有Radon-Nikodým结果推广至非加性情形，特别是在有限维Banach空间中，仅需其中一个多测度为可加。
• 作为主结果的应用，推导模糊多测度的代换型定理。

提出的方法

• 利用Rådström嵌入定理，将Banach空间X中的紧凸子集表示为Banach格C(Ω)的元素，从而将集值测度视为取值于C(Ω)的函数。
• 定义实值函数关于非加性、紧凸值测度m的Gould积分，将标量积分推广至多值设定。
• 施加穷竭条件，并要求多测度Γ关于模糊多子测度M具有强绝对连续性，以确保Radon-Nikodým导数的存在。
• 应用[29]和[18]中已知的可积性结果，确立存在有界可测函数f，满足积分表示。
• 使用等距嵌入U将问题转移至空间C(Ω)，其中由先前定理保证U(Γ)和U(M)的Radon-Nikodým导数存在。
• 应用推论3.7及Riemann型和的收敛性，证明∫_A f(t)φ(t) dμ等于∫_A f dM，从而确立代换法则。

实验结果

研究问题

• RQ1 当其中一个测度为非加性时，是否可为集值测度建立类似Radon-Nikodým的表示？
• RQ2 在何种条件下，可加多测度可表示为实值函数关于非加性、紧凸值测度的Gould积分？
• RQ3 如何通过Rådström嵌入将Gould积分扩展至取值于Banach格的多测度？
• RQ4 穷竭条件在多值设定中确保有界可测Radon-Nikodým导数存在时起何作用？
• RQ5 能否利用Gould积分框架为模糊多测度推导出代换公式？

主要发现

• 建立了新的多值Radon-Nikodým定理（定理4.20），表明在强绝对连续性和穷竭条件下，可加多测度Γ可表示为Γ(E) = ∫_E f dM对所有E ∈ A成立。
• 即使在有限维情形，该结果仍为新结果，因其允许其中一个多测度（M）为非加性，而Γ保持可加。
• 通过Rådström嵌入及文献中已知的可积性结果，保证了有界可测Radon-Nikodým导数f的存在。
• f关于M的Gould积分与Γ的集值积分表示一致，确保对所有可测集E有∫_E f dM = Γ(E)。
• 推导出一个积分代换定理：对所有A ∈ A有∫_A f dM = ∫_A f(t)φ(t) dμ，其中M是多函数φ关于概率测度μ的Gould积分。
• 证明了Riemann型和∑_J f(t_J)φ(t_J)μ(J)在C(Ω)范数下收敛于Γ(T)，从而确认fφ关于μ可积，且代换公式成立。