[论文解读] A Multivariable Chinese Remainder Theorem

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文将经典的中国剩余定理推广至多变量线性模方程组，证明当模数两两互素且每行至少有一个系数与对应模数互素时，对任意右端向量均存在解。该方法改编自13世纪秦九韶的算法，通过逐步提升迭代构造解，将中国剩余定理扩展至多变量丢番图方程组。

ABSTRACT

Using an adaptation of Qin Jiushao's method from the 13th century, it is possible to prove that a system of linear modular equations a(i,1) x(i) + ... + a(i,n) x(n) = b(i) mod m(i), i=1, ..., n has integer solutions if m(i)>1 are pairwise relatively prime and in each row, at least one matrix element a(i,j) is relatively prime to m(i). The Chinese remainder theorem is the special case, where A has only one column.

研究动机与目标

• 将经典中国剩余定理推广至多变量线性模方程组。
• 建立此类方程组对任意右端向量均存在整数解的充分条件。
• 基于历史方法（特别是秦九韶的“求一术”）提供一种构造性算法，用于求解多变量模方程组。
• 展示该方法在模两两互素整数的线性和非线性多项式方程组中的适用性。
• 强调秦九韶算法在现代计算群论技术（如Schreier-Sims算法）中的历史渊源与重要性。

提出的方法

• 采用构造性迭代提升过程：逐个求解方程，然后利用中国剩余定理将解提升至更高模数。
• 在每一步中，选择一个与当前模数互素的系数所对应的变量，并沿该方向参数化解。
• 使用群同态 $\phi: \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}_{m_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{m_n}$，其核为 $L_A$，以分析解空间结构。
• 应用第一同构定理，证明解集 $\mathcal{X} = \mathbb{Z}^n / L_A$ 同构于 $\phi$ 的像，从而在所述条件下保证满射性。
• 通过 $\vec{x}(t) = \sum t_i (m_1 \cdots m_i) \vec{e}_{j(i)}$ 构造解，其中 $j(i)$ 是与 $m_i$ 互素系数所在的列，确保模数间的相容性。
• 通过使用参数假设（如 $\vec{x} = (t,t,t)$）将方法扩展至非线性系统，逐项求解并逐步提升解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵且 $\vec{m}$ 由两两互素整数组成时，线性模方程组 $A\vec{x} \equiv \vec{b} \pmod{\vec{m}}$ 在何种条件下存在整数解？
• RQ2 秦九韶13世纪求解同余方程组的算法能否推广至任意整数矩阵的多变量线性系统？
• RQ3 是否存在一种构造性方法，可在体积为 $M = m_1 \cdots m_n$ 的有界平行多面体中找到解？
• RQ4 该方法能否扩展至模两两互素整数的非线性多项式系统？
• RQ5 秦九韶方法与现代计算群论算法（如Schreier-Sims）之间存在何种历史与算法上的联系？

主要发现

• 当模数 $m_i$ 两两互素且 $A$ 的每一行至少包含一个与 $m_i$ 互素的元素 $a_{ij}$ 时，系统 $A\vec{x} \equiv \vec{b} \pmod{\vec{m}}$ 对任意 $\vec{b}$ 均有解。
• 解存在于体积为 $M = m_1 \cdots m_n$ 的基本域 $\mathcal{X} = \mathbb{Z}^n / L_A$ 中，其中 $L_A$ 是 $\mathbb{Z}^n$ 中的一个格。
• 存在一种构造性算法：通过沿系数与模数互素的方向逐个求解并提升解，使用 $m_1 \cdots m_i$ 的缩放进行连续参数化。
• 对于示例 $\begin{bmatrix}101 & 107 \\ 51 & 22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix}3 \\ 7 \end{bmatrix} \pmod{\begin{bmatrix}117 \\ 71 \end{bmatrix}}$，求得解 $\vec{x} = \begin{bmatrix}25 \\ 65 \end{bmatrix}$。
• 其次，齐次解 $A\vec{x} \equiv \vec{0} \pmod{\vec{m}}$ 的格由 $\begin{bmatrix}73 \\ 47 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-82 \\ 61 \end{bmatrix}$ 张成，验证了解空间结构。
• 该方法可扩展至非线性系统：对于 $x^2 + y^3 + z^2 \equiv 1 \pmod{5}$，$x^3 + 2y^4 - z^2 \equiv 1 \pmod{7}$，$3x - 2y^3 + 5z^4 \equiv 7 \pmod{11}$，通过迭代提升构造出解 $\vec{x} = (2,72,37)$。