[论文解读] A multivariate central limit theorem for Lipschitz and smooth test functions

Martin Raič|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Functional Equations Stability Results参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文利用 Stein 方法，针对 Lipschitz 和光滑检验函数，建立了最优收敛速率 $n^{-1/2}$ 的多变量中心极限定理，消除了高维情形下先前存在的对数因子。关键创新在于通过利用二阶与四阶导数，绕过了无界三阶导数的问题，在 Lindeberg 型条件下实现了 Wasserstein-1 距离下的紧致误差界，且无需假设三阶矩有限。

ABSTRACT

We provide an abstract multivariate central limit theorem with the Lindeberg-type error bounded in terms of Lipschitz functions (Wasserstein 1-distance) or functions with bounded second or third derivatives. The result is proved by means of Stein's method. For sums of i.i.d. random vectors with finite third absolute moment, the optimal rate of convergence is established (that is, we eliminate the logarithmic factor in the case of Lipschitz test functions). We indicate how the result could be applied to certain other dependence structures, but do not derive bounds explicitly.

研究动机与目标

• 在高维情形下建立具有最优收敛速率 $n^{-1/2}$ 的多变量中心极限定理，适用于 Lipschitz 检验函数，其中先前结果存在次优的 $n^{-1/2}\log n$ 速率。
• 将 Stein 方法的适用范围扩展至具有光滑检验函数的多变量正态近似，特别是针对二阶或三阶导数有界的函数。
• 消除在 $\mathbb{R}^d$ 中 Lipschitz 检验函数的收敛速率中的对数因子，该因子在先前的高维结果中一直存在。
• 构建一个基于 Stein 方法的抽象框架，推广大小和零偏置方法，使其可应用于独立同分布和之外的依赖结构。
• 提供一种 Lindeberg 型误差界，不依赖于三阶绝对矩的有限性，而仅依赖于 Stein 方程解的二阶与四阶导数的矩条件。

提出的方法

• 该方法采用 Stein 方法，将正态近似误差转化为对 Stein 方程解作用于随机变量和的项的期望。
• 关键技术创新：通过利用二阶与四阶导数，绕过 Stein 解的无界三阶导数问题，这些导数在给定假设下表现良好。
• 通过一个新颖估计（公式 53）推导误差界，该估计通过张量积的射影与归纳范数控制高阶导数的影响。
• 框架使用向量测度与张量积积分，以结构化方式处理多变量依赖关系和条件期望。
• 抽象结果（定理 2.9 与 2.16）以条件分布和偏置结构的形式表述，推广了大小与零偏置技术。
• 该方法应用于独立同分布的随机向量和，仅在最小矩假设下即获得最优的 $n^{-1/2}$ 收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维多变量中心极限定理中，Lipschitz 检验函数的收敛速率中的对数因子是否可以被消除？
• RQ2 是否可能在不假设三阶绝对矩有限的条件下，实现 $\mathbb{R}^d$ 中 Lipschitz 函数的最优 $n^{-1/2}$ 收敛速率？
• RQ3 当 Stein 方程解的三阶导数无界时，如何调整 Stein 方法以控制其影响？
• RQ4 基于条件分布与偏置结构的抽象框架是否可推广至处理独立同分布和之外的依赖随机向量？
• RQ5 在多变量正态近似中，二阶与四阶导数在控制 Wasserstein-1 距离方面起什么作用？

主要发现

• 本文建立了 $\mathbb{R}^d$ 中 Lipschitz 检验函数的最优收敛速率 $n^{-1/2}$，消除了高维情形下此前不可避免的 $\log n$ 因子。
• 对于具有有限三阶绝对矩的独立同分布随机向量，该界实现了最优的 $n^{-1/2}$ 速率，与已知的一维结果一致。
• 误差界在不依赖三阶矩的 Lindeberg 型条件下推导得出，而仅依赖于 Stein 解的二阶与四阶导数的矩条件。
• 关键技术步骤（公式 53）通过利用二阶与四阶导数成功绕过了三阶导数无界的问题，这些导数通过射影与归纳张量范数得到控制。
• 抽象框架推广了大小与零偏置方法，使其可潜在应用于依赖结构（如 Palm 过程或条件和项），尽管这些情形下未推导显式误差界。
• 独立同分布随机向量归一化和与标准正态分布之间的 Wasserstein-1 距离被一个常数倍的 $n^{-1/2}$ 所控制，常数依赖于维度以及和项的二阶与四阶矩。