[论文解读] A multivariate version of the disk convolution

Margit Rösler, Michael Voit|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了非整数实参数下类型BCq的Heckman-Opdam Jacobi多项式连续且正的乘积公式，将经典的圆盘卷积结果推广至高秩情形。通过Carlson定理的解析延拓，构造了紧致对称空间上的一族单参数交换超群，将著名的圆盘超群推广至任意秩q ≥ 1及实参数p ∈ ]2q−1, ∞[。

ABSTRACT

We present an explicit product formula for the spherical functions of the compact Gelfand pairs $(G,K_1)= (SU(p+q), SU(p) imes SU(q))$ with $p\ge 2q$, which can be considered as the elementary spherical functions of one-dimensional $K$-type for the Hermitian symmetric spaces $G/K$ with $K= S(U(p) imes U(q))$. Due to results of Heckman, they can be expressed in terms of Heckman-Opdam Jacobi polynomials of type $BC_q$ with specific half-integer multiplicities. By analytic continuation with respect to the multiplicity parameters we obtain positive product formulas for the extensions of these spherical functions as well as associated compact and commutative hypergroup structures parametrized by real $p\in]2q-1,\infty[$. We also obtain explicit product formulas for the involved continuous two-parameter family of Heckman-Opdam Jacobi polynomials with regular, but not necessarily positive multiplicities. The results of this paper extend well known results for the disk convolutions for $q=1$ to higher rank.

研究动机与目标

• 将经典圆盘超群乘积公式推广至高秩（q ≥ 2）的紧致Grassmann流形。
• 为具有实非整数参数的Heckman-Opdam Jacobi多项式建立连续且正的乘积公式。
• 在实参数p ∈ ]2q−1, ∞[下，于空间Xq = T × [0,1]^{q-1}上构造一族单参数交换超群结构。
• 通过解析延拓，将乘积公式从整数p ≥ 2q推广至实数p > 2q−1。
• 确定所得超群的对偶空间与Haar测度。

提出的方法

• 利用Cartan分解，在紧致空间Xq上推导出Gelfand对(SU(p+q), SU(p)×SU(q))的球函数乘积公式。
• 将球函数表示为依赖于实参数p与l ∈ R的Heckman-Opdam多项式Rλ(k; t)，其中多重性参数k = (p−q−l, 1/2+l, 1)。
• 应用Carlson定理，将乘积公式从整数p ≥ 2q解析延拓至实数p ∈ ]2q−1, ∞[。
• 通过涉及奇异值与极分解的变量替换，将积分变换为包含∆(d(t,t';v,w))与SU(q)上Haar测度的形式。
• 利用Rλ(k; t)系数在k中为有理函数的性质，确保在Re(l) > 0时关于l的解析性，从而可延拓至l ∈ [0, ∞[。
• 推导出涉及Bq与SU(q)上积分的核型乘积公式，并取实部以保证最终公式的实性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将SU(p+q)/SU(p)×SU(q)上球函数的乘积公式从整数p ≥ 2q推广至实数p > 2q−1？
• RQ2 对于实参数p ∈ ]2q−1, ∞[，在Xq上关联的交换超群结构为何种形式？
• RQ3 所得乘积公式对一般实数l ≠ 0是否为正？抑或仅在l = 0时为正？
• RQ4 q ≥ 2时的乘积公式如何推广已知的一维圆盘卷积公式？
• RQ5 积分核能否以利于正性分析或进一步调和分析的形式表达？

主要发现

• 为具有参数k = (p−q−l, 1/2+l, 1)及实参数p ∈ ]2q−1, ∞[, l ∈ [0, ∞[的Heckman-Opdam Jacobi多项式Rλ(k; t)建立了连续且正的乘积公式。
• 乘积公式为 Rλ(k; t)Rλ(k; t′) = (1/κp) ∫∫ Rλ(k; arccos(σsing(d(t,t';v,w)))) · Re[ (∆(d)/∆(cos t)∆(cos t′))^l ] · ∆(Iq−w*w)^{p−2q} dvdw，其中积分区域为Bq × SU(q)，且对t1, t′1 ≠ π/2成立。
• 当q = 1时，该公式退化为涉及Jacobi多项式R(α,β)n(cos 2θ)的已知形式，且通过变量替换可证明其与Koornwinder的正乘积公式等价。
• 在Xq上得到的超群结构为交换且紧致，且存在一个与环面T同构的紧致子群。
• 商空间Xq/T被识别为单形Aq，且Aq上的超群结构恢复了[RR]对F = C的已知结果。
• 尽管经过了解析延拓，一般情况下l ≠ 0时乘积公式的正性仍为开放问题，甚至在一维情形亦未解决。