[论文解读] A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric

Манчо Манев, Miroslava Ivanova|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文在具有B度量的近接触流形上引入了一种类自然连接，称为$\varphi$ B-连接，该连接保持了近接触结构与B度量结构。研究刻画了该连接在各类此类流形上的挠率与曲率性质，证明在属于$\mathcal{F}_6$类的5维李群上，$\varphi$ B-连接是平坦的，且挠率平行。

ABSTRACT

Almost contact manifolds with B-metric are considered. A special linear connection is introduced, which preserves the almost contact B-metric structure on these manifolds. This connection is investigated on some classes of the considered manifolds.

研究动机与目标

• 定义并研究一种保持奇数维流形上近接触结构$(\varphi,\xi,\eta)$与B度量$g$的自然线性连接，即$\varphi$ B-连接。
• 研究$\varphi$ B-连接在超出先前研究案例的近接触B度量流形各类别中的几何性质——特别是挠率与曲率。
• 建立$\varphi$ B-连接平坦且挠率平行的条件，特别是在5维李群的背景下。
• 将$\varphi$ B-连接与近复几何中具有诺登度量的B-连接之间的类比关系，推广至具有B度量的近接触设置中。

提出的方法

• 将$\varphi$ B-连接定义为满足$\nabla^\prime\varphi = \nabla^\prime\xi = \nabla^\prime\eta = \nabla^\prime g = 0$的线性联络$\nabla^\prime$，以确保保持近接触B度量结构。
• 利用B度量$g$的Levi-Civita联络$\nabla$，表达$\nabla^\prime$与$\nabla$之间的差张量，从而实现对$\nabla^\prime$的挠率与曲率的计算。
• 通过协变导数$\nabla\xi$与$\nabla\eta$来刻画$\nabla^\prime$的挠张量$T$，特别关注分量$T(\xi, e_i, e_j)$。
• 利用结构方程与近接触B度量流形的分类$\mathcal{F}_i$，推导$\nabla^\prime$的曲率张量$R^\prime$。
• 将该连接应用于具有左不变近接触B度量结构的5维李群，利用结构常数$\lambda_i, \mu_i$计算$\nabla^\prime$、$T$与$R^\prime$的显式分量。
• 通过验证曲率张量的所有非零分量为零，确认$\nabla^\prime$的平坦性；并通过检查$\nabla^\prime T = 0$，确认挠率的平行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有B度量的近接触流形上定义一种保持近接触B度量结构的自然连接？
• RQ2 在$\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_4, \mathcal{F}_5, \mathcal{F}_{11}$类及更广泛类别的近接触B度量流形中，$\varphi$ B-连接的挠率与曲率性质是什么？
• RQ3 在何种条件下，5维近接触B度量流形上的$\varphi$ B-连接是平坦的？
• RQ4 在何种情况下，$\varphi$ B-连接的挠率关于其自身连接是平行的？
• RQ5 何种几何条件可确保$\varphi$ B-连接的曲率张量为$\varphi$-Kähler型？

主要发现

• 在属于$\mathcal{F}_6$类的5维李群流形上，$\varphi$ B-连接是平坦的，因为其曲率张量$R^\prime$的所有非零分量均消失。
• 在5维$\mathcal{F}_6$流形上，$\varphi$ B-连接的挠率$T$关于$\nabla^\prime$是平行的，经验证有$\nabla^\prime T = 0$。
• 挠张量的非零分量为：$T_{511} = -T_{522} = -T_{533} = T_{544} = \lambda_1$，$T_{512} = T_{521} = -T_{534} = -T_{543} = \frac{1}{2}(\lambda_2 + \mu_1)$，$T_{513} = -T_{524} = T_{531} = -T_{542} = -\lambda_3$，以及$T_{514} = T_{523} = T_{532} = T_{541} = -\frac{1}{2}(\lambda_4 + \mu_3)$。
• 当且仅当流形属于子类$\mathcal{U}_3 = \mathcal{F}_4 \oplus \mathcal{F}_5 \oplus \mathcal{F}_6$时，$\varphi$ B-连接的曲率张量为$\varphi$-Kähler型，该子类满足$F(x,y,\xi) = F(y,x,\xi) = -F(\varphi x, \varphi y, \xi)$。
• $\mathcal{U}_3$上$\nabla^\prime$的曲率张量具有形式$R(x,y,z,\xi) = \eta(x)g(\nabla_y\xi, \nabla_z\xi) - \eta(y)g(\nabla_x\xi, \nabla_z\xi)$。
• 在$\mathcal{U}_1$类中，条件$\mathop{\mathfrak{S}}\limits_{x,y,z}\{\eta(x)R(y,z)\xi\} = 0$成立，这意味着该类中$R(\varphi x, \varphi y)\xi = 0$。