[论文解读] A natural extension of Mittag-Leffler function associated with a triple infinite series

Ismail T. Huseynov, Arzu Ahmadovay+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文提出了一种通过三重无穷级数定义的新型三元 Mittag-Leffler 函数，将经典 Mittag-Leffler 函数扩展至三个变量。该研究建立了积分表示形式，推导了分数阶导数性质（包括 Caputo 类型与 Riemann-Liouville 类型），并将其应用于求解具有三个不同分数阶的多术语分数阶微分方程，展示了其在建模复杂物理系统中的实用性。

ABSTRACT

We establish a new natural extension of Mittag-Leffler function with three variables which is so called "trivariate Mittag-Leffler function". The trivariate Mittag-Leffler function can be expressed via complex integral representation by putting to use of the eminent Hankel's integral. We also investigate Laplace integral relation and convolution result for a univariate version of this function. Moreover, we present fractional derivative of trivariate Mittag-Leffler function in Caputo type and we also discuss Riemann- Liouville type fractional integral and derivative of this function. The link of trivariate Mittag-Leffler function with fractional differential equation systems involving different fractional orders is necessary on certain applications in physics. Thus, we provide an exact analytic solutions of homogeneous and inhomogeneous multi-term fractional differential equations by means of a newly defined trivariate Mittag-Leffler functions.

研究动机与目标

• 开发一种具有三个独立变量的 Mittag-Leffler 函数的新多变量扩展，用于分数阶微积分中的应用。
• 为新的三元函数建立积分表示形式以及分数阶导数性质（包括 Caputo 类型与 Riemann-Liouville 类型）。
• 为涉及三个不同分数阶的齐次与非齐次多术语分数阶微分方程提供精确的解析解。
• 通过显式解公式展示该函数在如电路系统等物理系统中的适用性。

提出的方法

• 提出一种三元 Mittag-Leffler 函数，表示为三重无穷级数：$ E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha}(\lambda_1 z^\alpha, \lambda_2 z^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 z^{\alpha-\beta}) = \sum_{l,p,k=0}^\infty \binom{l+p+k}{l,p,k} \frac{\lambda_1^l \lambda_2^p \lambda_3^k z^{l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta)}}{\Gamma(l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta) + \alpha)} $。
• 利用 Hankel 积分推导出该三元函数的复积分表示，以实现其解析表达。
• 研究该三元函数的单变量版本的 Laplace 积分关系与卷积性质。
• 定义并分析该三元 Mittag-Leffler 函数的 Caputo 类型与 Riemann-Liouville 类型分数阶导数与积分。
• 将该函数应用于求解具有三个不同分数阶（0.8, 0.6, 0.4）的多术语分数阶微分方程的 Cauchy 型初值问题。
• 推导出显式解公式：$ y(r) = \left(1 + \lambda_1 r^\alpha E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha+1}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) \right) y_0 + \int_0^r (r-s)^{\alpha-1} E_{\cdots}(\lambda_1 (r-s)^\alpha, \dots) g(s) ds $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过三重无穷级数自然地将经典 Mittag-Leffler 函数扩展至三个变量？
• RQ2 新三元 Mittag-Leffler 函数的积分表示形式及其分数阶微积分性质（包括 Caputo 类型与 Riemann-Liouville 类型）是什么？
• RQ3 三元 Mittag-Leffler 函数能否为具有三个不同分数阶的多术语分数阶微分方程提供精确的解析解？
• RQ4 涉及三个独立分数阶导数的非齐次多术语分数阶微分方程的解具有怎样的结构？
• RQ5 三元函数如何在如电路等物理模型中出现，其渐近性质是什么？

主要发现

• 三元 Mittag-Leffler 函数被定义为三重级数：$ E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) = \sum_{l,p,k=0}^\infty \binom{l+p+k}{l,p,k} \frac{\lambda_1^l \lambda_2^p \lambda_3^k r^{l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta)}}{\Gamma(l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta) + \alpha)} $。
• 该函数可通过 Hankel 积分获得复积分表示，为后续解析研究提供了可能。
• 推导出三元函数的 Caputo 类型分数阶导数，并成功应用于求解分数阶微分方程。
• 非齐次多术语分数阶微分方程的解可表示为 $ y(r) = \left(1 + \lambda_1 r^\alpha E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha+1}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) \right) y_0 + \int_0^r (r-s)^{\alpha-1} E_{\cdots} \cdots g(s) ds $。
• 对于 $ \alpha=0.8, \beta=0.6, \gamma=0.4, \lambda_1=0.5, \lambda_2=3, \lambda_3=5, y_0=2 $ 的示例，解为 $ y(r) = 2 + r^{0.8} E_{0.8,0.4,0.2,1.8}(0.5r^{0.8}, 3r^{0.4}, 5r^{0.2}) $。
• 本文证明了三元 Mittag-Leffler 函数可为具有三个不同分数阶的多术语分数阶微分方程提供精确的解析解，拓展了先前的单变量与双变量研究成果。