[论文解读] A Natural Generalization of Stable Matching Solved via New Insights into Ideal Cuts

Tung Mai, Vijay V. Vazirani|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过将最大权稳定匹配问题约化为有向无环图（DAG）中的最大权理想割问题，首次提出了该问题的组合多项式时间算法。关键贡献在于提出了一种新颖的组合算法来解决理想割问题，并引入了元旋转（meta-rotations），其将旋转的概念推广，以高效遍历最大权稳定匹配的子格。

ABSTRACT

We study a natural generalization of stable matching to the maximum weight stable matching problem and we obtain a combinatorial polynomial time algorithm for it by reducing it to the problem of finding a maximum weight ideal cut in a DAG. We give the first polynomial time algorithm for the latter problem; this algorithm is also combinatorial. The combinatorial nature of our algorithms not only means that they are efficient but also that they enable us to obtain additional structural and algorithmic results: - We show that the set, $\cal M'$, of maximum weight stable matchings forms a sublattice $\cal L'$ of the lattice $\cal L$ of all stable matchings. - We give an efficient algorithm for finding boy-optimal and girl-optimal matchings in $\cal M'$. - We generalize the notion of rotation, a central structural notion in the context of the stable matching problem, to meta-rotation. Just as rotations help traverse the lattice of all stable matchings, macro-rotations help traverse the sublattice over $\cal M'$.

研究动机与目标

• 开发最大权稳定匹配问题的多项式时间组合算法，该问题推广了经典的稳定匹配问题。
• 针对本文新引入的“最大权理想割问题”，提出一种组合且高效的算法求解DAG中的该问题。
• 通过证明最大权稳定匹配构成所有稳定匹配格中的子格，刻画其结构特征。
• 将稳定匹配理论中核心概念“旋转”推广为“元旋转”，以实现对最大权匹配子格的导航。
• 在最大权稳定匹配的子格中，实现对男孩最优与女孩最优匹配的高效计算。

提出的方法

• 利用旋转偏序集与闭集的性质，将最大权稳定匹配问题约化为有向无环图（DAG）中的最大权理想割问题。
• 将理想割问题表述为线性规划问题，并证明其最优解恒为整数解，从而说明该问题属于P类。
• 通过识别其顶点为最大权理想割、边为嵌套集合包含关系，刻画理想割多面体的结构。
• 提出理想割问题的对偶流形式，并通过修改的最大流算法与残差图，组合式求解该问题。
• 从流问题的残差图构造一个简化DAG D，使得 D 中的理想割与原图中的最大权理想割一一对应。
• 将元旋转偏序集定义为基于残差图中强连通分量对旋转集合的划分，从而实现对最大权匹配子格的遍历。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大权稳定匹配问题能否在不依赖线性规划的前提下，以组合方式在多项式时间内求解？
• RQ2 在所有稳定匹配的格中，最大权稳定匹配集合的结构特征是什么？
• RQ3 如何将经典“旋转”概念推广，以实现对最大权匹配子格的导航？
• RQ4 DAG中的最大权理想割问题能否以组合且高效的方式求解？
• RQ5 如何利用最大权匹配的结构特征，求解双目标稳定匹配问题？

主要发现

• 最大权稳定匹配的集合构成所有稳定匹配格 L 的子格 L′，且其交与并运算在 L′ 中保持不变。
• 本文首次提出一种组合多项式时间算法求解DAG中的最大权理想割问题，为本论文的核心贡献。
• 最大权稳定匹配与所构造DAG中的最大权理想割之间存在一一对应关系，从而实现高效计算。
• 元旋转——即对旋转的推广——为遍历子格 L′ 提供了机制，其作用类似于旋转在完整格 L 中的作用。
• 通过在元旋转偏序集中选择特定闭集，可高效计算子格 L′ 中的男孩最优与女孩最优匹配。
• 双目标稳定匹配问题可通过基于第一权重函数构建元旋转偏序集，再以第二权重函数求解最大权理想割问题来解决，从而实现解与割之间的一一对应。