[论文解读] A necessary and sufficient condition for minimum phase and implications for phase retrieval

Antonio Mecozzi|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 17被引用 30

一句话总结

本文提出了一种新颖且实用的带限信号为最小相位的充要条件——无需解析延拓即可仅从强度中唯一恢复相位——通过分析信号在时域的行为。关键贡献是基于时域信号 $E(t)$ 的条件，类似于奈奎斯特稳定性判据，可实现精确的相位重建，并支持仅使用强度检测的相干通信方案。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for a function $E(t)$ being of minimum phase, and hence for its phase being univocally determined by its intensity $|E(t)|^2$. This condition is based on the knowledge of $E(t)$ alone and not of its analytic continuation in the complex plane, thus greatly simplifying its practical applicability. We apply these results to find the class of all band-limited signals that correspond to distinct receiver states when the detector is sensitive to the field intensity only and insensitive to the field phase, and discuss the performance of a recently proposed transmission scheme able to linearly detect all distinguishable states.

研究动机与目标

• 推导带限信号为最小相位的实用、必要且充分条件，确保其相位可唯一地从强度 $|E(t)|^2$ 恢复。
• 消除对复平面上解析延拓的需求，该方法在数值上病态且对实际信号不切实际。
• 提出仅基于时域信号 $E(t)$ 的条件，使其可直接应用于实验与数字信号处理。
• 将该条件应用于确定在仅使用强度检测的光学通信系统中可区分的带限信号集合。
• 评估一种近期提出的 KK 传输方案的性能，该方案可实现仅使用强度接收器对所有可区分状态的线性检测。

提出的方法

• 基于时域信号 $E(t)$ 推导最小相位的必要且充分条件，利用希尔伯特变换与克雷默斯-克罗尼格关系。
• 引入一类信号 $\tilde{\mathcal{C}}_{\beta}(0,B)$，其具有紧支撑系数 $a_n$ 和特定脉冲形状 $H_\beta(t)$，确保信号带限且为最小相位。
• 将该条件应用于检测信号轨迹 $E(t)$ 在复平面上是否绕原点旋转，从而确定相位模糊性。
• 使用偏置参数 $b_0$ 控制与原点的距离，确保无旋转，从而实现无歧义的相位恢复。
• 通过洛伦兹近似进行数值插值，重建解析延拓并定位下半平面内的零点，而无需直接进行解析延拓。
• 通过 16QAM 和 8AM 信号示例验证该方法，当无旋转条件满足时，场和相位的重建结果与原始信号完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅基于时域信号 $E(t)$ 推导出最小相位的必要且充分条件，而无需解析延拓？
• RQ2 对 $E(t)$ 的何种实际条件可确保其相位由 $|E(t)|^2$ 唯一确定？
• RQ3 如何利用 $E(t)$ 在复平面上不绕原点旋转的特性来保证无歧义的相位恢复？
• RQ4 在光学通信系统中，仅使用强度检测时，哪些带限信号仍可被区分？
• RQ5 所提出的条件能否用于验证或提升 KK 传输方案在仅使用强度接收器时的线性检测性能？

主要发现

• 本文基于仅时域信号 $E(t)$ 建立了最小相位的必要且充分条件，避免了复平面上的解析延拓。
• 该条件等价于 $E(t)$ 在复平面上的轨迹不绕原点旋转，从而确保仅从强度即可实现无歧义的相位恢复。
• 该方法可从强度测量中精确重建复包络场与相位，如 16QAM 和 8AM 信号示例所示，重建结果与原始信号完全一致。
• 即使 $|E_s(t)|^2 < \overline{E}^2$ 不成立，只要无旋转发生，相位恢复仍为精确，表明旋转条件为必要且充分。
• 所提出的条件涵盖了并推广了先前已知的充分条件，例如基于下半平面无零点的条件。
• 结果表明，由于所提出的最小相位条件，KK 传输方案可有效解码所有可区分的带限信号，仅使用强度检测。