[论文解读] A necessary and sufficient condition on scattering for the regularly hyperbolic systems

Tokio Matsuyama, Michael Ruzhansky|Aug 27, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文建立了具有时变系数的规则双曲系统中散射的必要且充分条件：当且仅当系数满足 R-稳定性（即其时间导数属于 $ L^1(bR) $，且与渐近极限的差值可积）时，解是渐近自由的。该结果推广了先前对波动方程和 Kirchhoff 方程的研究，并通过渐近积分方法实现了波算子和散射算子的构造。

ABSTRACT

The present paper is devoted to finding a necessary and sufficient condition on the occurence of scattering for the regularly hyperbolic systems with time-dependent coefficients whose time-derivatives are integrable over the real line. More precisely, it will be shown that the solutions are asymptotically free if the coefficients are stable in the sense of the Riemann integrability as time goes to infinity, while each nontrivial solution is never asymptotically free provided that the coefficients are not R-stable as times goes to infinity. As a by-product, the scattering operator can be constructed. It is expected that the results obtained in the present paper would be brought into the study of the asymptotic behaviour of Kirchhoff systems.

研究动机与目标

• 确定具有时变系数的规则双曲系统解渐近自由的精确条件。
• 将先前对二阶波动方程散射的充分条件推广至一般一阶双曲系统。
• 利用渐近积分技术构造此类系统的波算子和散射算子。
• 阐明 R-稳定性（在无穷远处系数差值的黎曼可积性）在决定散射行为中的作用。
• 为具有时变系数的 Kirchhoff 型系统的渐近分析提供理论基础。

提出的方法

• 采用渐近积分方法分析一阶时变系数双曲系统解的长时间行为。
• 将 R-稳定性定义为：当 $ t o latlatlat $ 时，$ a_{ij}(t, heta) - a_{ij}^{lat}( heta) o 0 $ 在 $ L^1(bR) $ 中成立，其中 $ lat $ 表示 $ o o $ 或 $ o - o $。
• 利用符号 $ A(t, heta) $ 的极限行为定义具有常系数 $ A_{lat}( heta) $ 的渐近系统，确保规则双曲性。
• 通过沿序列 $ heta_ u o latlatlat $ 的近似解极限构造基本矩阵解 $ W_{lat}(t, heta) $，确保一致收敛。
• 通过证明 $ W_{lat} $ 将渐近系统的解映射到原系统解的 $ L^2 $-范数下，证明波算子 $ W_{lat} $ 的存在性与有界性。
• 应用 Plancherel 定理验证 $ W_{lat} $ 是 $ (L^2(bR^n))^m $ 空间之间的同构，从而确保酉等价性和散射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有时变系数的规则双曲系统解渐近自由的必要且充分条件是什么？
• RQ2 R-稳定性（即 $ a_{ij}(t, heta) - a_{ij}^{lat}( heta) $ 的可积性）如何影响散射态的存在性？
• RQ3 能否通过渐近积分方法严格构造此类系统的波算子和散射算子？
• RQ4 特征根 $ ho_j(t, heta) $ 的渐近行为在多大程度上决定了系统的散射性质？
• RQ5 这些结果如何推广先前对二阶波动方程的研究，并应用于 Kirchhoff 系统？

主要发现

• 当且仅当系数满足 R-稳定性，即 $ orm{a_{ij}(t, heta) - a_{ij}^{lat}( heta)}_{L^1(bR)} < lat $ 时，规则双曲系统柯西问题的解 $ U(t,x) $ 在 $ t o latlatlat $ 时渐近自由。
• 若系数不满足 R-稳定性，则不存在非平凡的渐近自由解，即不发生散射。
• 波算子 $ W_{lat} $ 存在，且在 $ (L^2(bR^n))^m $ 上有界且双射，通过基本矩阵解的极限构造。
• 散射算子 $ S $ 是酉算子，可显式构造为 $ S = W_+^* W_- $，其中 $ W_{lat} $ 通过渐近积分定义。
• 基本矩阵 $ W_{lat}(t, heta) $ 满足 $ D_t W_{lat}(t, heta) = A(t, heta) W_{lat}(t, heta) $，且对所有 $ t eq 0 $ 其行列式非零，确保可逆性。
• 通过 Plancherel 定理以及 $ N(t, heta)^{-1} - N_{lat}( heta)^{-1} $ 和 $ Psi(t, heta) $ 的衰减性，建立了 $ orm{V_{lat}(t,ullet) - U(t,ullet)}_{(L^2)^m} o 0 $ 的收敛性。