[论文解读] A necessary condition for existence of S-matrix outside perturbation theory

A. V. Stoyanovsky|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Quantum optics and atomic interactions参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文利用马索夫–舒韦多夫的复胚方法，在微扰论之外建立了量子场论中S矩阵存在的必要条件。结果表明，S矩阵仅在经典场演化对应的切对称变换在福克空间中可幺正实现时，才可能在半经典近似下存在；作者认为，由于马索夫–舒韦多夫的工作所得结果，该条件通常成立。

ABSTRACT

Using the Maslov--Shvedov method of complex germ, we show that quantum field theory S-matrix can exist outside perturbation theory in the principal order of quasiclassical approximation only under the condition that the tangent symplectic transformation to the evolution operator of non-linear classical field equation is unitarily implementable in the Fock space. However, the results of Maslov--Shvedov's book imply that this condition is seemingly always satisfied.

研究动机与目标

• 利用半经典近似研究量子场论中S矩阵的非微扰存在性。
• 确定S矩阵是否能在半经典展开的主要阶次中，于微扰论之外一致定义。
• 分析由经典场演化诱导的辛变换在福克空间中的幺正实现性。
• 评估马索夫–舒韦多夫复胚方法的结果是否意味着幺正实现性条件的一般有效性。
• 阐明福克空间态的半经典演化在何种数学条件下保持良好定义且幺正。

提出的方法

• 应用马索夫–舒韦多夫的复胚方法，计算哈密顿量量子场论中福克空间态的半经典演化。
• 采用主阶半经典近似，保留至 $ o(h) $ 阶的项，以描述波泛函的演化。
• 将福克空间态的演化建模为由经典场流的切对称映射生成的幺正变换。
• 依赖于哈密顿量 $ H $ 的二阶泛函导数得到的二次部分 $ H_2 $，来描述泛函 $ f $ 的演化。
• 分析控制波泛函高斯部分时间演化的核 $ R^t(\textbf{x},\textbf{y}) $ 的里卡蒂方程。
• 引入 $ O(h) $ 阶的反项哈密顿量 $ H^{ct}_\text{Λ} $，以确保在正则化移除后结果的有限性与幺正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在微扰论框架之外，量子场论中S矩阵存在的条件是什么？
• RQ2 与经典场演化相关的切对称变换是否在福克空间中可幺正实现？
• RQ3 马索夫–舒韦多夫复胚方法是否在半经典极限下一致地给出福克空间态的幺正演化算符？
• RQ4 该幺正实现性条件是否对一般非线性经典场方程均成立？
• RQ5 反项在确保半经典演化算符的有限性与幺正性方面起什么作用？

主要发现

• S矩阵仅在经典场演化对应的切对称变换在福克空间中可幺正实现时，才可能在非微扰的主半经典阶次中存在。
• 幺正实现性条件要求辛算符在 $ L^2 $-范数下有界，且其某些分量的组合为希尔伯特–施密特算符。
• 马索夫–舒韦多夫著作的结果表明，该幺正实现性条件对经典场方程而言似乎总是满足。
• 通过复胚方法计算的真空态 $ \Psi_0 $ 的半经典演化仍保留在福克空间中，表明该形式体系的一致性。
• 在适当选取反项哈密顿量 $ H^{(1)}_\Lambda $ 的条件下，福克空间中多项式泛函的演化在相同条件下保持良好定义且幺正。
• 该方法通过经典轨迹及其线性化动力学，实现了S矩阵的非微扰构造，完整演化由 $ R^t $ 的里卡蒂方程编码。