[论文解读] A negative index meta-material for Maxwell's equations

Ben Schweizer, Agnes Lamacz|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文严格推导了具有极端介电常数的周期性超材料中包含细长连通导线时的均匀化麦克斯韦方程组。结果表明，由于体块包含物中的电介质共振，有效磁导率 μeff(ω) 可能变为负值；而尽管导线磁性不可见且其介电常数 εw 为负，连通导线网络仍可使有效介电常数 εeff 变为负值，从而形成同时具有负 μeff 和 εeff 的负折射率材料。

ABSTRACT

We derive the homogenization limit for time harmonic Maxwell's equations in a periodic geometry with periodicity length $η>0$. The considered meta-material has a singular sub-structure: the permittivity coefficient in the inclusions scales like $η^{-2}$ and a part of the substructure (corresponding to wires in the related experiments) occupies only a volume fraction of order $η^2$; the fact that the wires are connected across the periodicity cells leads to contributions in the effective system. In the limit $η o 0$, we obtain a standard Maxwell system with a frequency dependent effective permeability $μ^{\mathrm{eff}}(ω)$ and a frequency independent effective permittivity $\varepsilon^{\mathrm{eff}}$. Our formulas for these coefficients show that both coefficients can have a negative real part, the meta-material can act like a negative index material. The magnetic activity $μ^{\mathrm{eff}} eq 1$ is obtained through dielectric resonances as in previous publications. The wires are thin enough to be magnetically invisible, but, due to their connectedness property, they contribute to the effective permittivity. This contribution can be negative due to a negative permittivity in the wires.

研究动机与目标

• 从数学上证明在具有极端介电常数和细长连通导线的周期性超材料中，负折射率材料的出现是合理的。
• 分析当周期长度 η → 0 时，时 harmonic 麦克斯韦方程组的均匀化极限。
• 确定有效介电常数 εeff 和有效磁导率 μeff 同时具有负实部的条件。
• 阐明导线连通性在尽管其体积分数趋于零的情况下如何对 εeff 产生贡献。
• 推导出能捕捉共振效应和几何贡献的 μeff(ω) 和 εeff 的显式公式。

提出的方法

• 使用具有振荡系数 εη 和 µ ≡ µ0 的麦克斯韦方程组的周期均匀化理论。
• 将超材料建模为两类包含物：具有介电常数 εbη−2 的体块包含物（Ση）和具有介电常数 εwη−2 的导线包含物（Γη），二者均以周期 η 重复。
• 应用振荡测试函数 ψη(x) = ϑjη(x/η)ϕ(x)，以在麦克斯韦方程组的弱形式中取极限。
• 通过在带有旋度和散度约束的希尔伯特空间中的变分形式求解磁感应强度 Hj 的细胞问题，以计算 μeff(ω)。
• 将有效介电常数 εeff 表示为细胞问题贡献 Aeff 与连通导线几何贡献 πα²εw 之和。
• 利用谱分析和强制双线性型，证明细胞问题解的存在唯一性，并推导出 μeff(ω) 的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有细长连通导线和高对比度包含物的超材料是否可能因 εeff 和 μeff 同时为负而表现出负有效折射率？
• RQ2 尽管导线体积分数趋于零，其连通性如何影响有效介电常数 εeff？
• RQ3 体块包含物中的电介质共振通过何种数学机制导致有效磁导率 μeff(ω) 为负？
• RQ4 为何导线不贡献于 μeff(ω)，而其对 εeff(ω) 的贡献如何在均匀化极限中被捕捉？
• RQ5 当 η → 0 时，有效参数 μeff(ω) 和 εeff 的精确形式是什么？在何种条件下两者实部可同时为负？

主要发现

• 通过细胞问题的谱分析表明，体块包含物 Ση 中的共振可导致有效磁导率 μeff(ω) 为负。
• 有效介电常数 εeff 由 εeff = Aeff + πα²εw 给出，其中 Aeff 来自细胞问题，πα²εw 为连通导线的几何贡献。
• 导线贡献项 πα²εw 与频率无关，明确量化了导线网络对 εeff 的影响。
• 尽管导线体积分数（阶为 η²）趋于零，其在周期性单元之间的连通性使其能够对有效介电常数产生贡献。
• 有效系统为标准麦克斯韦系统，其中 μeff(ω) 和 εeff 作为参数，表明当两者实部均为负时，该超材料表现出负折射率行为。
• 结果证实，负折射率行为可由电介质共振（导致 μeff 为负）与几何连通性（导致 εeff 为负）共同作用产生，即使不包含金属包含物亦可实现。