[论文解读] A Nehari manifold for non-local elliptic operator with concave-convex non-linearities and sign-changing weight function

Sarika Goyal, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文证明了在具有凹凸非线性项和变号权函数的非局部 p-分数阶椭圆方程中，至少存在两个非负解。通过 Nehari 流形理论与纤维化映射分析，作者证明当正参数 λ < λ₀ 足够小时，该问题在 Sobolev 空间 W^{α,p}(ℝⁿ) 中存在两个不同的非负弱解。

ABSTRACT

In this article, we study the existence and multiplicity of non-negative solutions of following $p$-fractional equation: $$ \quad \left\{\begin{array}{lr}\ds \quad - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dxdy = \la h(x)|u|^{q-1}u+ b(x)|u|^{r-1} u \; ext{in}\; \Om \quad \quad \quad \quad u \geq 0 \; \mbox{in}\; \Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n), \quad \quad\quad \quad\quad u =0\quad\quad ext{on} \quad \mb R^n\setminus \Om \end{array} ight. $$ where $\Om$ is a bounded domain in $\mb R^n$, $p\geq 2$, $n&gt; p\al$, $\al\in(0,1)$, $0&lt; q0$ and $h$, $b$ are sign changing smooth functions. We show the existence of solutions by minimization on the suitable subset of Nehari manifold using the fibering maps. We find that there exists $\la_0$ such that for $\la\in (0,\la_0)$, it has at least two solutions.

研究动机与目标

• 研究具有凹凸非线性项的非局部 p-分数阶椭圆方程的非负解的存在性与多重性。
• 将 Nehari 流形技术扩展至具有变号权函数的非局部算子，这一情形此前尚未被研究。
• 分析与能量泛函相关的纤维化映射，以识别 Nehari 流形上的临界点。
• 利用变分方法，建立当 λ > 0 足够小时，至少存在两个非负弱解的存在性。
• 刻画阈值 λ₀，使得当 λ ∈ (0, λ₀) 时，该问题具有多个解。

提出的方法

• 通过满足特定衰减与对称性条件的积分核定义算子 𝒟_K，建立非局部 p-分数阶方程的弱解形式。
• 在空间 X₀ = {u ∈ X : u = 0 a.e. in ℝⁿ \ Ω} 上定义能量泛函 J_λ(u)，并引入具有变号权函数 h(x) 与 b(x) 的非齐次项。
• 通过研究 t ↦ J_λ(tu)（u ∈ X₀）的纤维化映射分析，将临界点分类为 Nehari 集 𝒩_λ⁺、𝒩_λ⁻ 与 𝒩_λ⁰。
• 利用 Nehari 流形的分解，将能量泛函划分为纤维化映射具有一个或两个临界点的区域。
• 证明当 λ < λ₀ 时，J_λ 在 𝒩_λ⁺ 与 𝒩_λ⁻ 上的下确界可实现，从而得到两个不同的临界点。
• 建立 X₀ 中极小化序列的强收敛性，并利用 𝒩_λ⁰ = ∅ 的事实，确认极小化子分别位于 𝒩_λ⁺ 与 𝒩_λ⁻ 上。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有凹凸非线性项和变号权函数的非局部 p-分数阶椭圆方程是否允许多个非负解？
• RQ2 参数 λ 在决定此类非局部问题解的数量方面起什么作用？
• RQ3 Nehari 流形技术能否被适配于具有变号权函数和非齐次非线性项的非局部算子？
• RQ4 能量泛函相关的纤维化映射在何种条件下恰好有两个临界点？
• RQ5 是否存在阈值 λ₀ > 0，使得当 λ ∈ (0, λ₀) 时，该问题至少有两个不同的非负弱解？

主要发现

• 存在阈值 λ₀ > 0，使得对所有 λ ∈ (0, λ₀)，方程至少存在两个非负弱解。
• 通过在 Nehari 流形的正部 𝒩_λ⁺ 与负部 𝒩_λ⁻ 上最小化能量泛函，证明了两个解的存在性。
• J_λ 在 𝒩_λ⁺ 与 𝒩_λ⁻ 上的极小化序列在 X₀ 中强收敛，确认了极小化子的存在性。
• Nehari 流形被分解为三个不相交的集合，且 𝒩_λ⁰ = ∅，确保 𝒩_λ⁺ 与 𝒩_λ⁻ 上的临界点是孤立且非退化的。
• 通过将 Gâteaux 导数与 u⁻ 进行测试，证明两个解几乎处处为非负，表明 u⁻ 必须恒为零。
• 泛函 J_λ 在 X₀ 上是强制的且弱下半连续的，支持在 Nehari 集上极小化子的存在性。