[论文解读] A new algorithm for graph center computation and graph partitioning according to the distance to the center

Frédéric Protin, Proissl, Claudius+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种新颖的、可并行化的算法，用于计算图的中心并根据节点到中心的距离对节点进行分区，通过迭代计算修改后邻接矩阵的幂实现。该方法在大多数图类型中优于Floyd-Warshall算法，尤其在密集或浅层图中表现更优，实验中速度提升最高达10倍，原因在于优化策略仅追踪非零条目并利用了矩阵幂的单调性。

ABSTRACT

The radius of a graph is an important structural parameter which plays a key role in social network analysis and related applications. It measures the minimum shortest path distance that is required to reach all nodes in the graph from a single node. A node from which all other nodes are within a distance equal to the radius is called a center of the graph. In a graph with n nodes and m edges, the center and the radius can be determined in Õ(nm) by computing shortest path distances between all pairs of nodes. Fine-grained complexity results suggest that asymptotically faster algorithms are unlikely to exist. In this paper, we describe a novel randomized algorithm for exact radius computation in weighted digraphs with an expected running time in Õ(d³m) where d is the so-called combinatorial dimension. Our methodology is inspired by Clarkson’s algorithm for LP-type problems. The value of d denotes the size of a basis, which is a smallest subset of nodes which enforce the same radius as the whole node set. While we show that there exist graphs with d ∈ Θ(n), our empirical analysis reveals that even large real-world graphs have small combinatorial dimension. This allows us to compute the radius in near-linear time on such instances. The significantly improved scalability can be clearly observed in our experimental evaluation on a diverse set of benchmark graphs.

研究动机与目标

• 开发一种更快、可并行化的算法，用于计算图中心及基于节点到中心距离的节点分区。
• 解决传统算法（如Floyd-Warshall和Bellman-Ford）的局限性，这些算法会计算过多信息，且在该特定任务中运行更慢。
• 通过基于节点离心率的分层组织，实现图的高效可视化与分析。
• 通过仅追踪非零条目并利用图连通性的结构特性，优化矩阵幂的计算。

提出的方法

• 该算法使用修改后的邻接矩阵 ˜A，其中对角线元素设为1，以表示自环并支持长度至n的路径计数。
• 计算连续的幂 ˜An，其中 (˜An)ij 表示从节点 i 到 j 的长度至多为 n 的路径数量。
• 中心节点 C0 被识别为 ˜An0 中所有条目均非零的行，其中 n0 是至少有一行被填满的最小 n 值。
• 节点按首次实现完全连通的时间被划分为层级 Ck：Ck 包含在 ˜An0+k 时首次完全连通但此前未完全连通的节点。
• 优化措施包括将非零系数替换为1（阈值化）以减少计算量，并利用路径计数的单调性跳过冗余条目。
• 改进方法采用迭代矩阵乘法结合提前停止和行检测，以高效识别某行何时首次变为全非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于矩阵幂的方法是否能在广泛图类型中比Floyd-Warshall更高效地计算图中心与节点分层？
• RQ2 与传统算法相比，该算法在图密度和深度增加时的性能扩展性如何？
• RQ3 诸如阈值化和提前停止等优化措施在不影响正确性的前提下，能在多大程度上减少计算时间？
• RQ4 在Floyd-Warshall已知为最优的稀疏或线性图上，该算法是否仍保持高效？
• RQ5 该算法是否天然支持并行化？在实践中是否能实现显著的速度提升？

主要发现

• 在大多数测试图配置中，所提算法优于Floyd-Warshall，密集图中速度提升最高达10倍。
• 对于深度 P=13 且节点数 N=500 的图，新算法的中位运行时间为52秒，而Floyd-Warshall为198秒。
• 在浅层图（P=2）中，新算法显著更快，当 N=400 时，某次实验中速度提升达100倍（100秒 vs 1秒）。
• 该算法的性能随图连通性的提高而提升，这与基于非零条目快速传播的设计预期一致。
• 改进3（采用类似二分查找的方法估算 n0）在深度图上提供了显著的速度提升，尽管略微降低了浅层图的性能。
• 该算法天然支持并行化，因为每次矩阵乘法和行检测均可分布到多个处理器上。