[论文解读] A New Application of Orthogonal Range Searching for Computing Giant Graph Diameters

Amir Abboud, Virginia Vassilevska Williams+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 37被引用 17

一句话总结

本文提出了真正亚二次时间的近似算法与固定参数亚二次时间算法，用于在稀疏图中计算半径与直径，利用正交范围搜索与参数化复杂性。在击中集与正交向量猜想下，建立了紧致的条件下界，表明在亚二次时间内，有向图半径的2-近似与无向图直径的3/2-近似是最优的。

ABSTRACT

A well-known problem for which it is difficult to improve the textbook algorithm is computing the graph diameter. We present two versions of a simple algorithm (one being Monte Carlo and the other deterministic) that for every fixed h and unweighted undirected graph G with n vertices and m edges, either correctly concludes that diam(G) < hn or outputs diam(G), in time O(m+n^{1+o(1)}). The algorithm combines a simple randomized strategy for this problem (Damaschke, IWOCA'16) with a popular framework for computing graph distances that is based on range trees (Cabello and Knauer, Computational Geometry'09). We also prove that under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), we cannot compute the diameter of a given n-vertex graph in truly subquadratic time, even if the diameter is an Theta(n/log{n}).

研究动机与目标

• 确定在稀疏图中，何时可以真正以亚二次时间计算半径与直径。
• 为有向图与无向图中各种直径与半径变体，开发近似与固定参数亚二次时间算法。
• 基于击中集与正交向量猜想，建立条件下的界，以排除更优的近似比或运行时间。
• 弥合已知算法与稀疏图中基本图参数的条件下界之间的差距。

提出的方法

• 提出一种基于单向距离的有向半径2-近似算法，运行时间为Õ(m√n)，利用正交范围搜索。
• 提出一种无向直径3/2-近似算法，运行时间为Õ(m√n)，与已知下界相匹配。
• 提出一种新颖的从正交向量问题到直径与离心率估计的归约，以建立下界。
• 使用树宽作为参数，设计出运行时间为2O(k log k)n1+o(1)的半径与直径算法，并通过条件下的下界证明其近乎最优。
• 将击中集问题归约到半径计算，证明若能在亚二次时间内实现(3/2−δ)-近似，则会与击中集猜想矛盾。
• 应用OV的归约，表明在亚二次时间内实现(5/3−δ)-近似所有离心率，以及(3/2−δ)-近似往返直径，均不可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稀疏图中，半径与直径能否以真正亚二次时间计算？
• RQ2 在合理猜想下，亚二次时间内直径与半径的最佳可能近似比是多少？
• RQ3 使用树宽的参数化算法能否实现半径与直径的亚二次时间计算？
• RQ4 是否存在亚二次时间近似算法的紧致条件下的界？
• RQ5 能否通过从正交向量与击中集问题的归约，确立近似比的最优性？

主要发现

• 基于单向距离的有向半径2-近似算法运行时间为Õ(m√n)，而(2−δ)-近似在O(n2−ε)时间内实现的可能性在击中集猜想下极低。
• 对于无向图，无向直径的3/2-近似可在Õ(m√n)时间内实现，而(3/2−δ)-近似在亚二次时间内实现将与击中集猜想矛盾。
• 在无向稀疏图中，若能在亚二次时间内实现(5/3−δ)-近似所有离心率，则会与正交向量猜想矛盾。
• 在树宽为k的图上，半径与直径可在2O(k log k)n1+o(1)时间内计算，而即使(3/2−δ)-近似在2o(k)n2−ε时间内实现，也会与击中集猜想矛盾。
• 在亚二次时间内实现(3/2−ε)-近似往返直径，将与正交向量猜想矛盾。
• 本文建立了紧致界：在标准猜想下，真正亚二次时间内，无向图直径无法优于3/2-近似，有向图半径无法优于2-近似。