[论文解读] A new application of Random Matrices: Ext(C*_{red}(F_2)) is not a group

Uffe Haagerup, Thorbjornsen, Steen|ArXiv.org|Dec 19, 2002

Random Matrices and Applications参考文献 22被引用 40

一句话总结

该论文建立了随机矩阵的强收敛结果：任意独立高斯随机矩阵多项式的算子范数几乎必然收敛于自由半圆系统中相应多项式的范数。利用该结果，作者证明了自由群两个生成元的约化C*-代数的Ext不变量不是一个群，而仅是一个半群，从而解决了算子代数领域长期悬而未决的公开问题。

ABSTRACT

In the process of developing the theory of free probability and free entropy, Voiculescu introduced in 1991 a random matrix model for a free semicircular system. Since then, random matrices have played a key role in von Neumann algebra theory (cf. [V8], [V9]). The main result of this paper is the following extension of Voiculescu's random matrix result: Let X_1^(n),...,X_r^(n) be a system of r stochastically independent n by n Gaussian self-adjoint random matrices as in Voiculescu's random matrix paper [V4], and let (x_1,...,x_r) be a semi-circular system in a C*-probability space. Then for every polynomial p in r noncommuting variables lim_{n->oo}||p(X_1^(n),...,X_r^(n))|| = ||p(x_1,...,x_r)||, for almost all omega in the underlying probability space. We use the result to show that the Ext-invariant for the reduced C*-algebra of the free group on 2 generators is not a group but only a semi-group. This problem has been open since Anderson in 1978 found the first example of a C*-algebra A for which Ext(A) is not a group.

研究动机与目标

• 将Voiculescu的自由半圆系统随机矩阵逼近推广到算子范数设定，证明算子范数的几乎必然收敛。
• 解决自由群两个生成元的约化C*-代数的Ext不变量是否为群或仅为半群的公开问题。
• 应用强随机矩阵收敛性解决C*-代数理论中的基本问题，特别是C*-代数扩张分类问题。
• 证明C*_{red}(F₂)的Ext群不关于逆元封闭，从而说明其不是群。
• 为自由概率中的随机矩阵理论在冯诺依曼代数和C*-代数理论中的新应用提供范例。

提出的方法

• 使用独立的n×n高斯自伴随机矩阵X_i^{(n)}，方差为1/n，构成自由半圆系统的矩阵模型。
• 证明算子范数的几乎必然收敛：对所有非交换变量的多项式p，有lim_{n→∞} ||p(X_1^{(n)}(ω), ..., X_r^{(n)}(ω))|| = ||p(x_1, ..., x_r)||几乎处处成立。
• 利用随机矩阵的大数定律和谱范数集中性，建立几乎必然意义下的范数收敛。
• 将范数收敛结果应用于自由群F₂的左正则表示，构造酉表示π_n，使得||∑ c_j π_n(h_j)|| → ||∑ c_j λ(h_j)||。
• 利用范数收敛性分析C*_{red}(F₂)的Ext不变量，表明扩张集合不关于逆元封闭。
• 利用关于自由酉元之和的范数及约化C*-代数结构的已知结果，证明Ext(C*_{red}(F₂))不是群。

实验结果

研究问题

• RQ1 独立高斯随机矩阵多项式的算子范数是否几乎必然收敛于相应自由半圆多项式的范数？
• RQ2 随机矩阵范数的强收敛性能否用于分析C*-代数中Ext不变量的代数结构？
• RQ3 自由群两个生成元的约化C*-代数的Ext不变量是群还是仅为半群？
• RQ4 复高斯随机矩阵在大n极限下其幂的范数行为如何精确描述？
• RQ5 C*-代数中自由酉元之和的范数与它们的随机矩阵逼近之间的范数关系如何？

主要发现

• 任意r个独立n×n高斯自伴随机矩阵多项式的算子范数，几乎必然收敛于自由半圆系统中相应多项式的范数：对几乎所有ω，有lim_{n→∞} ||p(X_1^{(n)}(ω), ..., X_r^{(n)}(ω))|| = ||p(x_1, ..., x_r)||。
• Ext-invariant Ext(C*_{red}(F₂))不是群，而仅是半群，解决了自Anderson 1978年例子以来长期悬而未决的问题。
• 在自由群F_r的左正则表示中，∑_{i=1}^r λ(g_i) ⊗ v_i的范数精确等于2√(r−1)，其中任意v_i为希尔伯特空间上的酉算子。
• 对于复高斯随机矩阵Y_n，其i.i.d. entries方差为1/n，当n→∞时，Y_n^p的算子范数几乎必然收敛于((p+1)^{p+1}/p^p)^{1/2}。
• (Y_n^p)^* Y_n^p的谱范数几乎必然收敛于(p+1)^{p+1}/p^p，且当n→∞时，超过该值的特征值个数最终趋于零。
• F_r的酉表示范数不等式中的常数C(r)满足C(r) = 2√(r−1)对所有r ≥ 2成立，该结论通过随机矩阵逼近和拉马努金图得到验证。