[论文解读] A new approach for solving nonlinear Thomas-Fermi equation based on fractional order of rational Bessel functions

Kourosh Parand, Amin Ghaderi-Kangavari+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Fractional Differential Equations Solutions被引用 25

一句话总结

本文提出了一种新颖的分数阶有理贝塞尔函数配置法（FRBC），用于在不进行区域截断的情况下求解半无限区域上的非线性托马斯-费米方程。通过结合拟线性化方法对原方程进行线性化，并利用FRBC实现高精度谱解，该方法在仅使用200个配置点的情况下，将初始斜率 $ y'(0) = -1.588071022611375312718684509423 $ 的精度提升至30位小数。

ABSTRACT

In this paper, the fractional order of rational Bessel functions collocation method (FRBC) to solve Thomas-Fermi equation which is defined in the semi-infinite domain and has singularity at $x = 0$ and its boundary condition occurs at infinity, have been introduced. We solve the problem on semi-infinite domain without any domain truncation or transformation of the domain of the problem to a finite domain. This approach at first, obtains a sequence of linear differential equations by using the quasilinearization method (QLM), then at each iteration solves it by FRBC method. To illustrate the reliability of this work, we compare the numerical results of the present method with some well-known results in other to show that the new method is accurate, efficient and applicable.

研究动机与目标

• 开发一种高精度谱方法，用于求解在 $ x=0 $ 处具有奇点且在无穷远处具有边界条件的半无限区域上的非线性托马斯-费米方程。
• 通过使用分数阶有理贝塞尔函数作为基函数，消除对区域截断或坐标变换的需求。
• 与传统方法（如龙格-库塔法和亚当斯-巴什福斯法）相比，实现更优的数值稳定性和精度，后者在该问题上存在病态条件和精度不足的问题。
• 以前所未有的精度计算初始斜率 $ y'(0) $，这对于托马斯-费米近似中的原子能计算至关重要。
• 展示FRBC方法在求解无界区域上非线性奇异两点边值问题方面的有效性。

提出的方法

• 该方法应用拟线性化（QLM）将原始的非线性托马斯-费米方程转化为一系列线性微分方程。
• 每个线性化后的方程均采用分数阶有理贝塞尔函数配置法（FRBC）求解，该方法在半无限区间上使用有理贝塞尔函数作为基函数。
• 配置点选取为有理切比雪夫函数的根，以确保谱精度和稳定性。
• 在这些配置点上最小化残差误差，从而得到包含 $ N+1 $ 个未知系数的 $ N+1 $ 个线性方程组。
• 该方法无需确定最优缩放参数 $ L $，可直接设 $ L=1 $ 而不失精度。
• 迭代过程持续进行直至收敛，最终解通过截断的分数阶有理贝塞尔函数级数近似得到。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于分数阶有理贝塞尔函数的谱方法是否能有效求解半无限区域上的非线性托马斯-费米方程，且无需区域截断？
• RQ2 对于此奇异问题，FRBC方法在精度和稳定性方面与经典数值方法（如龙格-库塔法和亚当斯-巴什福斯法）相比表现如何？
• RQ3 该新方法在初始斜率 $ y'(0) $ 的计算中可达到何种精度水平？
• RQ4 FRBC方法是否能消除谱方法在无界区域上应用时对最优参数调优（如缩放因子 $ L $）的需求？
• RQ5 该方法是否可有效应用于其他非线性奇异两点边值问题在半无限区间上的求解？

主要发现

• 该方法在仅使用200个配置点的情况下，实现了初始斜率 $ y'(0) = -1.588071022611375312718684509423 $ 的极高精度，精度达30位小数。
• 随着配置点数量的增加，残差误差显著减小，表现出快速收敛性和高数值稳定性。
• 计算得到的 $ y(x) $ 和 $ y'(x) $ 解收敛于正确的渐近行为 $ y(x) \to 0 $（当 $ x \to \infty $ 时），满足边界条件。
• 该方法优于传统方法（如龙格-库塔法和亚当斯-巴什福斯法），后者在该问题上存在病态条件且精度较低。
• 该方法无需区域变换或截断，且避免了对缩放参数 $ L $ 的调优，简化了实现过程。
• FRBC方法被证明是求解半无限区域上非线性奇异常微分方程的鲁棒且高效的方法，具有广泛的应用潜力。