[论文解读] A new approach of the Chebyshev wavelets for the variable-order time fractional mobile-immobile advection-dispersion model

Mohammad Heydari|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于切比雪夫小波（CWs）的新型数值方法，用于求解变阶时间分数阶移动-非移动对流-弥散方程。该方法引入了一种新的在Caputo意义下的变阶分数阶导数的运算矩阵，将问题转化为线性代数方程组，从而实现高效且精确的求解。该方法在多个测试案例中表现出高度的准确性和效率。

ABSTRACT

This paper proposes a new numerical method based on the Chebyshev wavelets (CWs) to solve the variable-order time fractional mobile-immobile advection-dispersion equation. To do this, a new operational matrix of variable-order fractional derivative in the Caputo sense for the CWs is derived and is used to obtain an approximate solution for the problem under study. Along the way a new family of piecewise functions is introduced and employed to derive a general method to compute this matrix. The main advantage behind the proposed approach is that the problem under consideration is transformed into a linear system of algebraic equations. So, it can be solved simply to obtain an approximate solution. The efficiency and accuracy of the proposed method are shown for some concrete examples. These results show that the proposed method is very efficient and accurate.

研究动机与目标

• 开发一种高效数值方法，用于求解变阶时间分数阶移动-非移动对流-弥散方程。
• 推导一种在Caputo意义下针对切比雪夫小波的新型变阶分数阶导数运算矩阵。
• 将分数阶PDE转化为线性代数方程组，以简化求解过程。
• 通过利用CWs和分段函数的性质，确保方法具有高精度和高效率。
• 通过具有解析基准的数值实例验证该方法的有效性。

提出的方法

• 引入一族新的分段函数，以推导计算切比雪夫小波变阶分数阶导数运算矩阵的一般性方法。
• 将分数阶PDE的解展开为切比雪夫小波的形式。
• 应用变阶分数阶导数的运算矩阵，将时间分数阶导数项转换为矩阵-向量乘积。
• 利用小波的性质，直接将边界条件和初始条件融入系统中。
• 将原问题简化为求解一个线性代数方程组，从而实现高效计算。
• 通过逐步增加小波分辨率（M）来实现方法的实现，并评估其收敛性和准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地推导出用于求解分数阶PDE的切比雪夫小波变阶分数阶导数的新运算矩阵？
• RQ2 所提出的方法在近似求解变阶时间分数阶对流-弥散方程方面能达到多高的精度？
• RQ3 增加小波基函数的数量（M）是否能提高数值解的精度？
• RQ4 与基准问题的解析解相比，该方法的表现如何？
• RQ5 该方法能否高效处理具有空间和时间依赖性的变阶分数阶导数？

主要发现

• 所提出的方法具有高精度，在示例3中，当t=0.1且M=11时，绝对误差低至9.735×10⁻¹⁹。
• 随着M的增加，精度显著提升，表现出良好的收敛性和鲁棒性。
• 在示例3中，当M≥9时，误差始终保持在10⁻¹⁵以下，表明具有极高的精度。
• 在示例4中，该方法准确捕捉到了解u(x,t)=t³|2x−1|³，绝对误差极小，该结论得到了可视化和数值结果的验证。
• 该方法能够高效处理具有复杂空间-时间依赖性的变阶分数阶导数，例如γ(x,t)=0.8+0.2e⁻ˣsin(t)。
• 转换为线性代数方程组极大地简化了计算过程，并实现了简便的实现。