[论文解读] A New Approach to Quantising Space-Time: I. Quantising on a General Category

C. J. Isham|ArXiv.org|Mar 17, 2003

Data Management and Algorithms参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对离散时空结构（如因果集和拓扑）的新型基于算子的量化框架，通过将这些结构视为范畴中的对象，其中保持结构的映射（箭头）充当动量的类比。关键贡献是利用箭头场构建了一个‘范畴量化幺半群’，使其在范畴对象上的希尔伯特空间上实现酉表示，从而为一致历史量子引力理论提供了基础。

ABSTRACT

A new approach is suggested to the problem of quantising causal sets, or topologies, or other such models for space-time (or space). The starting point is the observation that entities of this type can be regarded as objects in a category whose arrows are structure-preserving maps. This motivates investigating the general problem of quantising a system whose `configuration space' (or history-theory analogue) can be regarded as the set of objects in a category. In this first of a series of papers, we study this question in general and develop a scheme based on constructing an analogue of the group that is used in the canonical quantisation of a system whose configuration space is a manifold $Q\simeq G/H$ where G and H are Lie groups. In particular, we choose as the analogue of G the monoid of `arrow fields' on the category. Physically, this means that an arrow between two objects in the category is viewed as some sort of analogue of momentum. After finding the `category quantisation monoid', we show how suitable representations can be constructed using a bundle of Hilbert spaces over the set of objects.

研究动机与目标

• 为诸如因果集和拓扑等缺乏光滑流形结构的时空模型提供一个严格的数学框架以实现量化。
• 解决在缺乏固定背景流形的离散时空结构中定义量子动力学的挑战，因为传统正则量化在此类结构上失效。
• 开发一种在范畴上构建量子理论的一般方案，其中范畴的对象代表时空或空间构型。
• 通过将量子态定义为范畴对象上的函数，并将动力学编码于退相干泛函中，实现一致历史形式的量子引力。
• 通过扩展范畴结构，为将物质场和量子度规纳入框架奠定基础。

提出的方法

• 将系统的配置空间视为范畴 Q 中的对象集合，其间的结构保持映射（箭头）作为基本结构。
• 构建‘箭头场’的幺半群——即在 Ob(Q) 上的箭头丛的截面——作为在 G/H 对称空间上正则量化中群 G 的类比。
• 在 Ob(Q) 上定义一个希尔伯特空间丛，每个纤维 K[c] 与一个对象 c 相关联，从而实现将量子态构造为该丛的截面。
• 通过箭头场在希尔伯特丛上的作用，构建范畴量化幺半群的酉表示，推广了动量算符的作用。
• 通过在范畴 Q 中引入此类结构，该方法允许纳入额外自由度（例如物质场）。
• 该方法与正则量化以及量子理论的 HPO（历史投影算符）一致历史诠释兼容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为诸如因果集或拓扑等非流形的时空结构定义量子理论，这些结构无法应用标准正则量化？
• RQ2 在配置空间为范畴而非流形的系统中，动量的适当类比是什么？
• RQ3 在范畴上构建量子理论的酉表示时，如何实现，因为标准的 Stone–von Neumann 定理不适用？
• RQ4 在一致历史诠释的量子因果集中，退相干泛函的作用是什么，它如何从范畴量化框架中推导出来？
• RQ5 能否通过修改范畴 Q 来扩展该框架以包含物质场或量子度规？

主要发现

• 本文利用范畴 Q 上的箭头场幺半群构建了一个范畴量化幺半群，该幺半群作为 G/H 对称空间中群 G 的量子类比。
• 该幺半群的酉表示在范畴对象上的希尔伯特空间丛上实现，为标准量子态空间提供了推广。
• 该框架支持正则量化和一致历史诠释，具体取决于解释方式，其中态被定义为 Ob(Q) 上的函数。
• 该方法为构建离散时空的量子理论提供了数学上严谨的工具包，尽管尚未指定退相干泛函的形式。
• 该方法足够通用，可通过扩展范畴 Q 来纳入额外自由度，例如通过在对象上包含函数空间或度规场。
• 本文强调，当 c 为因果集时，每个纤维 K[c] 上需要非标准的希尔伯特空间结构，暗示了量子理论基础数学框架的根本性转变。