[论文解读] A new approach to the LSZ reduction formula

John C. Collins|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在相对论量子场论中构造渐近粒子产生算符的新方法，该方法在无限时间极限下实现强收敛，解决了LSZ约化公式长期存在的问题。通过引入时间范围参数Δt，该方法确保仅产生目标粒子态，消除了原始LSZ方法中存在的紫外发散的虚假成分。关键贡献在于建立了一个全新的、完全演绎的散射理论框架，为LSZ和新算符提供了明确的费曼规则，并通过微扰计算验证了原始LSZ算符会产生紫外发散的额外态。

ABSTRACT

Lehmann, Symanzik and Zimmermann (LSZ) proved a theorem showing how to obtain the S-matrix from time-ordered Green functions. Their result, the reduction formula, is fundamental to practical calculations of scattering processes. A known problem is that the operators that they use to create asymptotic states create much else besides the intended particles for a scattering process. In the infinite-time limits appropriate to scattering, the extra contributions only disappear in matrix elements with normalizable states, rather than in the created states themselves, i.e., the infinite-time limits of the LSZ creation operators are weak limits. The extra particles that are created are in a different region of space-time than the intended scattering process. To be able to work with particle creation at non-asymptotic times, e.g., to give a transparent and fully deductive treatment for scattering with long-lived unstable particles, it is necessary to have operators for which the infinite-time limits are strong limits. In this paper, I give an improved method of constructing such operators. I use them to give an improved systematic account of scattering theory in relativistic quantum field theories, including a new proof of the reduction formula. I make explicit calculations to illustrate the problems with the LSZ operators and their solution with the new operators. Not only do these verify the existence of the extra particles created by the LSZ operators and indicate a physical interpretation, but they also show that the extra components are so large that their contribution to the norm of the state is ultra-violet divergent in renormalizable theories. Finally, I discuss the relation of this work to the work of Haag and Ruelle on scattering theory.

研究动机与目标

• 解决LSZ约化公式中长期存在的问题：即在无限时间极限下，产生算符不仅产生目标态，还会产生额外粒子。
• 开发一种新方法，构造出具有强极限而非弱极限的粒子产生算符，从而实现对散射过程的有限时间处理。
• 为相对论量子场论散射理论提供一个完全演绎、系统化的框架，尤其适用于长寿命或不稳定粒子。
• 澄清LSZ算符中虚假成分的物理意义，并证明其在可重整化理论中具有紫外发散性。
• 建立新形式与Haag-Ruelle散射理论之间的联系，调和有限时间构造与严格渐近粒子态之间的关系。

提出的方法

• 在产生算符中引入时间范围参数Δt，定义$ A^{ullet}_{f}(t, \triangle t) $，通过控制能量不确定度，确保当$ \triangle t \to \infty $时强极限存在。
• 使用经过修改的时间有序场积分，结合有限时间区间内的 smear 函数，替代标准LSZ算符中仅在一个时间切片上积分的形式。
• 通过算符范数$ \|A(t) - B\| \to 0 $定义强极限，当$ t \to \pm\infty $时，确保所有态的矩阵元均收敛。
• 推导新产生算符相关顶点的显式费曼规则，使微扰计算矩阵元和范数成为可能。
• 在相互作用 picture 中进行显式微扰计算，计算LSZ与新算符所产生态的范数，揭示前者存在紫外发散。
• 在动量空间积分中使用相位抵消技术，分析矩阵元行为，以区分弱极限、强极限与极强极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何LSZ产生算符在无限时间极限下仍会产生非预期的粒子态，尽管S矩阵矩阵元是正确的？
• RQ2 能否构造一类新的产生算符，使其无限时间极限为强极限而非仅弱极限？
• RQ3 LSZ算符所产生态中紫外发散成分的物理与数学根源是什么？
• RQ4 新算符如何实现对长寿命或不稳定粒子参与的散射过程的完全演绎处理？
• RQ5 新形式与Haag-Ruelle散射理论之间的确切关系是什么，特别是在渐近态存在性方面？

主要发现

• LSZ产生算符$ a^{ullet}_{f}(t) $不仅产生目标粒子，其态范数中还包含紫外发散的虚假成分，尽管这些成分在与可归一化态的矩阵元中会相互抵消。
• 新算符$ A^{ullet}_{f}(t, \triangle t) $通过有限时间范围$ \triangle t $的设定，确保无限时间极限为强极限，从而在态本身中消除了虚假成分。
• 微扰计算证实，在可重整化理论中，LSZ算符所产生态的范数具有紫外发散性，而新算符避免了这种发散。
• 新算符的强极限之所以存在，是因为额外成分不仅在矩阵元中消失，更在态向量本身中消失，这归因于时间范围的 smear 处理。
• 新形式为新产生算符的顶点提供了显式的费曼规则，使这些算符的矩阵元与范数可系统地进行微扰计算。
• 分析表明，在时间平移不变的理论中，无论是LSZ还是新算符，极强极限（算符范数收敛）均不存在，原因在于矩阵元中的相位抵消。