[论文解读] A New Approach to the $r$-Whitney Numbers by Using Combinatorial Differential Calculus

Jósé L. Ramírez, Miguel A. Méndez|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文通过基于语法 $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ 的组合微分学，提出了 $r$-Whitney 数第二类的新型组合解释。通过令 $m=1$，其为 $r$-Stirling 数提供了新的组合模型，并定义了第一类和第二类 $[m]$-Stirling 数，从而导出广义的 Touchard 多项式族。主要贡献在于确立了 $r$-Dowling 多项式作为相对于 $[m]$-Touchard 多项式的 Sheffer 家族，并通过 Riordan 矩阵与上下文演算推导出涉及 Bernoulli 多项式与 Euler 多项式的新型行列式恒等式与组合恒等式。

ABSTRACT

In the present article we introduce two new combinatorial interpretations of the $r$-Whitney numbers of the second kind obtained from the combinatorics of the differential operators associated to the grammar $G:=\{ y ightarrow yx^{m}, x ightarrow x\}$. By specializing $m=1$ we obtain also a new combinatorial interpretation of the $r$-Stirling numbers of the second kind. Again, by specializing to the case $r=0$ we introduce a new generalization of the Stirling number of the second kind and through them a binomial type family of polynomials that generalizes Touchard's. Moreover, we show several well-known identities involving the $r$-Dowling polynomials and the $r$-Whitney numbers using the combinatorial differential calculus. Finally we prove that the $r$-Dowling polynomials are a Sheffer family relative to the generalized Touchard binomial family, study their umbral inverses, and introduce $[m]$-Stirling numbers of the first kind. From the relation between umbral calculus and the Riordan matrices we give several new combinatorial identities involving the $r$-Whitney number of both kinds, Bernoulli and Euler polynomials.

研究动机与目标

• 通过基于语法 $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ 的组合微分学，发展 $r$-Whitney 数第二类的新型组合解释。
• 通过基于该语法的新型模型，推广 $r$-Stirling 数第二类。
• 定义第一类与第二类 $[m]$-Stirling 数，并将 $[m]$-Touchard 多项式引入为 Touchard 多项式的二项式型推广。
• 确立 $r$-Dowling 多项式作为相对于 $[m]$-Touchard 多项式的 Sheffer 家族。
• 利用上下文演算与 Riordan 矩阵框架，推导出涉及 $r$-Whitney 数、Bernoulli 多项式与 Euler 多项式的新型组合恒等式。

提出的方法

• 作者利用基于语法 $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ 的组合微分学，生成 $r$-Whitney 数第二类的组合解释。
• 通过指数 Riordan 矩阵的 $A$-序列与 $Z$-序列，推导出 $r$-Whitney 数第二类的递推关系。
• 通过上下文演算与生成函数技术，证明 $r$-Dowling 多项式相对于 $[m]$-Touchard 多项式构成 Sheffer 家族。
• $r$-Whitney 数第一类通过指数 Riordan 矩阵 $\left\langle (1+mz)^{-r/m}, \ln(1+mz)^{1/m} \right\rangle$ 进行刻画，其 $A$-序列生成函数涉及 Bernoulli 数。
• 通过递归表达 $r$-Dowling 多项式并展开所得矩阵的行列式，推导出行列式恒等式。
• 利用上下文演算与 Riordan 矩阵之间的联系，推导出涉及 Bernoulli 与 Euler 多项式的新型恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用特定语法的微分算子，对 $r$-Whitney 数第二类进行新的组合重解释？
• RQ2 在语法模型中令 $m=1$ 时，会涌现出何种新型组合结构？其与 $r$-Stirling 数第二类有何关联？
• RQ3 能否从 $[m]$-Stirling 数第二类构造出广义的 Touchard 多项式族？其性质为何？
• RQ4 $r$-Dowling 多项式是否构成相对于 $[m]$-Touchard 多项式的 Sheffer 家族？如何通过上下文演算加以证明？
• RQ5 在 Riordan 矩阵框架下，能否推导出涉及 $r$-Whitney 数、Bernoulli 多项式与 Euler 多项式的新型组合恒等式？

主要发现

• $r$-Whitney 数第二类满足一个涉及第一类 Cauchy 数系数的递推关系：$W_{m,r}(n+1,k+1) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{n+1}{k+1} \binom{k+j}{j} c_j m^j W_{m,r}(n,k+j)$。
• $r$-Whitney 数第一类由指数 Riordan 矩阵 $\left\langle (1+mz)^{-r/m}, \ln(1+mz)^{1/m} \right\rangle$ 刻画，其 $A$-序列生成函数涉及 Bernoulli 数。
• $r$-Dowling 多项式 $\mathcal{D}_n^{[m,r]}(x)$ 满足行列式恒等式 ${\mathcal{D}}_{n}^{[m,r]}(x)=(-1)^{n}\begin{vmatrix}1&x&&\cdots&&x^{n-1}&x^{n}\\ 1&w_{m,r}(1,0)&&\cdots&&w_{m,r}(n-1,0)&w_{m,r}(n,0)\\ 0&1&&\cdots&&w_{m,r}(n-1,1)&w_{m,r}(n,1)\\ \vdots&&&\cdots&&&\vdots\\ 0&0&&\cdots&&1&w_{m,r}(n,n-1)\end{vmatrix}$。
• $r$-Dowling 多项式相对于 $[m]$-Touchard 多项式构成 Sheffer 家族，该结论通过上下文演算与生成函数分析得以确立。
• $[m]$-Stirling 数第一类被定义为 $[m]$-Stirling 数第二类的上下文逆，从而导出 Stirling 数的新推广形式。
• 通过 Riordan 矩阵框架以及上下文演算与 Riordan 矩阵之间的联系，推导出涉及 $r$-Whitney 数、Bernoulli 多项式与 Euler 多项式的新型组合恒等式。