[论文解读] A New Approach to Updating Beliefs

Ronald Fagin, Joseph Y. Halpern|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 16被引用 247

一句话总结

本文提出了一种达姆斯特-谢弗信任函数的条件信任的新定义，将其建模为条件概率函数的下包络，避免了达姆斯特原始方法中的关键缺陷。该方法为条件信任提供了闭式表达式，并与内条件概率建立了精确类比，为不确定环境下的信任更新提供了一个稳健的框架。

ABSTRACT

We define a new notion of conditional belief, which plays the same role for Dempster-Shafer belief functions as conditional probability does for probability functions. Our definition is different from the standard definition given by Dempster, and avoids many of the well-known problems of that definition. Just as the conditional probability Pr (lB) is a probability function which is the result of conditioning on B being true, so too our conditional belief function Bel (lB) is a belief function which is the result of conditioning on B being true. We define the conditional belief as the lower envelope (that is, the inf) of a family of conditional probability functions, and provide a closed form expression for it. An alternate way of understanding our definition of conditional belief is provided by considering ideas from an earlier paper [Fagin and Halpern, 1989], where we connect belief functions with inner measures. In particular, we show here how to extend the definition of conditional probability to non measurable sets, in order to get notions of inner and outer conditional probabilities, which can be viewed as best approximations to the true conditional probability, given our lack of information. Our definition of conditional belief turns out to be an exact analogue of our definition of inner conditional probability.

研究动机与目标

• 解决达姆斯特信念函数条件信任规则中众所周知的局限性。
• 提出一种条件信任的定义，使其在信念理论中的作用类似于概率论中的条件概率。
• 为不确定环境中信念更新提供一个数学上严谨且操作上实用的框架。
• 将信念函数与内测度联系起来，并将条件概率扩展至非可测集。
• 在条件信任与内条件概率之间建立正式类比。

提出的方法

• 将条件信任 Bel(⋅|B) 定义为给定证据 B 的一组条件概率函数的下确界（下包络）。
• 利用质量函数的结构和证据 B，推导出条件信任函数的闭式表达式。
• 利用 Fagin 和 Halpern（1989）提出的内测度框架，将信念函数解释为未知概率的近似。
• 通过定义内条件概率和外条件概率作为真实概率的上下界，将条件概率扩展至非可测集。
• 证明所提出的条件信任函数与内条件概率同构，提供了精确的数学类比。
• 利用信念函数与内测度之间的对偶性，证明新更新规则的稳健性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何重新定义条件信任，以避免达姆斯特规则中的悖论和反直觉结果？
• RQ2 在不确定性更新的背景下，信念函数与条件概率之间存在何种正式关系？
• RQ3 是否可以利用内测度概念来定义一个一致且数学严谨的条件信任函数？
• RQ4 与现有方法相比，新定义的条件信任在一致性和可解释性方面表现如何？
• RQ5 条件概率能否有意义地扩展至非可测集，这与信念函数更新有何关联？

主要发现

• 所提出的条件信任函数被定义为条件概率的下包络，提供了一个稳健且一致的更新机制。
• 该方法避免了‘在零上条件化’问题及其他已知的达姆斯特规则病理现象。
• 推导出了条件信任的闭式表达式，使实际计算与实现成为可能。
• 新定义的条件信任在数学上等价于内条件概率的概念，建立了深刻的理论联系。
• 该框架通过内概率和外概率成功地将条件概率扩展至非可测集，为处理不完整信息提供了合理方法。
• 该方法在达姆斯特-谢弗理论中自然且直观地类比了条件概率，增强了其在人工智能和决策理论中的适用性。