[论文解读] A new approach toward locally bounded global solutions to a $3D$ chemotaxis-stokes system with nonlinear diffusion and rotation

Jiashan Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了具有非线性多孔介质扩散（$m > 9/8$）、张量值敏感性及旋转通量的三维趋化-斯托克斯系统全局有界弱解的存在性。通过在泛函 $\int_\Omega n\ln n + \int_\Omega |\nabla\sqrt{c}|^2 + \int_\Omega |u|^2$ 中引入一种新颖的梯度型结构，作者证明了对所有 $t \in (0,T)$，$n$、$c$ 和 $u$ 局部 $L^\infty$ 有界，从而解决了具有张量值趋化敏感性的系统中所面临的若干关键挑战。

ABSTRACT

We consider a degenerate quasilinear chemotaxis--Stokes type involving rotation in the aggregative term, \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} n_t+u\cdot abla n=Δn^m- abla\cdot(nS(x,n,c)\cdot abla c),\quad x\in Ω, t>0, c_t+u\cdot abla c=Δc-nc, x\in Ω, t>0,\\ u_t+ abla P=Δu+n abla ϕ,x\in Ω, t>0,\\ abla\cdot u=0, x\in Ω, t>0, \end{array} ight. \end{equation} where $Ω\subseteq \mathbb{R}^3$ is a bounded convex domain with smooth boundary. Here $ S\in C^2(\barΩ imes[0,\infty)^2;\mathbb{R}^{3 imes3})$ is a matrix with $s_{i,j}\in C^1( \barΩ imes [0, \infty) imes[0, \infty)).$ Moreover, $|S(x,n,c)| \leq S_0(c)$ for all $(x,n,c)\in \barΩ imes [0, \infty) imes[0, \infty)$ with $S_0(c)$ nondecreasing on $[0,\infty)$. If $$m>\frac{9}{8}, $$ then for all reasonably regular initial data, a corresponding initial-boundary value problem for $(0.1)$ possesses a globally defined weak solution $(n,c,u)$. Moreover, for any fixed $T > 0$ this solution is bounded in $Ω imes (0,T)$ in the sense that $$ \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(Ω)} +\|c(\cdot,t)\|_{W^{1,\infty}(Ω)}+\|n(\cdot,t)\|_{L^\infty(Ω)} \leq C ~~\mbox{for all}~~ t\in(0,T) $$ is valid with some $C(T) > 0$.

研究动机与目标

• 建立具有非线性扩散和张量值敏感性的三维趋化-斯托克斯系统弱解的全局存在性与局部有界性。
• 解决具有旋转通量和张量值敏感性系统中缺乏自然梯度型结构的问题。
• 将先前关于标量敏感性和无流体情形的结果推广至更具生物学相关性的矩阵值敏感性复杂情形。
• 构建一种新型泛函结构，以捕捉系统尽管缺乏标准李雅普诺夫泛函时的耗散性质。

提出的方法

• 引入新的泛函 $\int_\Omega n\ln n + \int_\Omega |\nabla\sqrt{c}|^2 + \int_\Omega |u|^2$，以捕捉系统中的梯度型耗散。
• 使用带 $\varepsilon$-扰动的正则化近似系统，以处理非线性扩散的退化性并避免解的爆破。
• 应用热半群的 $L^p$-$L^q$ 估计，以在高阶范数下控制 $c$ 和 $u$。
• 采用莫泽迭代法与阿布林-刘易斯紧致性引理，推导出 $n_\varepsilon$ 及其幂次的强收敛性。
• 在独立于 $\varepsilon$ 的前提下，建立 $\|n_\varepsilon\|_{L^\infty}$、$\|c_\varepsilon\|_{W^{1,\infty}}$ 和 $\|u_\varepsilon\|_{L^\infty}$ 的一致有界性。
• 利用弱*收敛与强收敛性，令 $\varepsilon \to 0$，从而获得全局弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非线性扩散（$m > 9/8$）和张量值敏感性的三维趋化-斯托克斯系统，能否建立全局有界解？
• RQ2 趋化项中存在旋转通量是否会导致有界解的不存在？若存在，能否克服这一障碍？
• RQ3 能否构造一种新型梯度型结构，以在张量敏感性情形下标准李雅普诺夫泛函失效时仍能控制系统？
• RQ4 解 $n$、$c$ 和 $u$ 的有界性如何依赖于扩散指数 $m$？
• RQ5 本研究结果在多大程度上推广了先前关于标量敏感性或无流体系统的工作？

主要发现

• 当 $m > 9/8$ 时，具有张量值敏感性的趋化-斯托克斯系统初边值问题存在全局定义的弱解。
• 该解满足对所有 $t \in (0,T)$ 和某个 $C(T) > 0$，有 $\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} + \|c(\cdot,t)\|_{W^{1,\infty}(\Omega)} + \|n(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C$，确保了局部 $L^\infty$ 有界性。
• 新泛函 $\int_\Omega n\ln n + \int_\Omega |\nabla\sqrt{c}|^2 + \int_\Omega |u|^2$ 展现出梯度型结构，使得即使在缺乏标准李雅普诺夫泛函的情况下，仍能实现能量型估计。
• 该结果推广了 Tao 与 Winkler 对常数敏感性 $S = C_S$ 的工作，并在 $m=1$ 且 $S=C_S$ 时与 Zheng 和 Wang 的无流体结果一致。
• 证明依赖于莫泽迭代法、阿布林-刘易斯引理与 $L^p$-$L^q$ 估计的创新性结合，以实现 $n_\varepsilon$ 的强收敛性与一致有界性。
• 对所有 $\varepsilon \in (0,1)$，$n_\varepsilon$、$c_\varepsilon$ 和 $u_\varepsilon$ 在 $L^\infty$ 范数下的有界性均被一致控制，从而实现了向全局弱解的极限传递。