[论文解读] A new bound for the capacity of the deletion channel with high deletion probabilities

Marco Dalai|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2010

Wireless Communication Security Techniques参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文证明了当 d→1 时，二元删除信道容量 C(d) 归一化后除以 (1−d) 的极限存在，且等于 d∈(0,1) 上 C(d)/(1−d) 的下确界。利用已知的 C(d) 边界，该结果得出了改进的上界 lim_{d→1} C(d)/(1−d) ≤ 0.4143，支持了 C(d) 在 [0,1] 上可能为凸函数的猜想。

ABSTRACT

Let $C(d)$ be the capacity of the binary deletion channel with deletion probability $d$. It was proved by Drinea and Mitzenmacher that, for all $d$, $C(d)/(1-d)\geq 0.1185 $. Fertonani and Duman recently showed that $\limsup_{d o 1}C(d)/(1-d)\leq 0.49$. In this paper, it is proved that $\lim_{d o 1}C(d)/(1-d)$ exists and is equal to $\inf_{d}C(d)/(1-d)$. This result suggests the conjecture that the curve $C(d)$ my be convex in the interval $d\in [0,1]$. Furthermore, using currently known bounds for $C(d)$, it leads to the upper bound $\lim_{d o 1}C(d)/(1-d)\leq 0.4143$.

研究动机与目标

• 解决关于 lim_{d→1} C(d)/(1−d) 是否存在的开放问题。
• 改进高删除概率下二元删除信道渐近容量的上界。
• 基于 d=1 附近的性能行为，研究容量函数 C(d) 在 [0,1] 上可能的凸性。
• 利用有限块长容量 C_n(d) 的已知边界，推导出高删除容量极限的更紧边界。

提出的方法

• 使用信道模型 W_{n,k}，其输出为从 n 位输入中均匀随机抽取的 k 位子序列，以近似删除信道 W^d。
• 应用定理 1 表明，当 n 很大时，C_n(d) 近似于 C(1−k/n)，从而建立有限块长容量与渐近容量之间的联系。
• 依赖于 Fertonani 和 Duman（2012）的引理 8，该引理给出 limsup_{d→1} C(d)/(1−d) ≤ (nC_{n,k}+1)/(k+1) 对任意 n,k 成立。
• 通过证明引理 8 中的 limsup 上界在 d'→1 时收敛于 C(d')/(1−d')，从而证明定理 2，表明极限存在且等于 C(d)/(1−d) 的下确界。
• 利用先前工作中得出的 C_{17}(0.65)=0.145 的数值结果，通过推论 1 计算出改进的上界 0.4143。
• 分析 C_n(d)/(1−d) 在 d→1 时的行为，表明其趋于 1，这意味着对于有限 n，C_n(d) 在 d=1 附近不具凸性，但这一行为并不排除 C(d) 的极限函数具有渐近凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于二元删除信道，极限 lim_{d→1} C(d)/(1−d) 是否存在？
• RQ2 能否利用已知的有限块长容量边界，推导出 lim_{d→1} C(d)/(1−d) 的更紧上界？
• RQ3 容量函数 C(d) 在区间 [0,1] 上是否为凸函数，特别是在 d=1 附近？
• RQ4 有限块长容量 C_n(d) 在 d=1 附近的性能行为与渐近容量 C(d) 如何比较？

主要发现

• 极限 lim_{d→1} C(d)/(1−d) 存在，且等于 inf_{d∈(0,1)} C(d)/(1−d)，解决了该极限存在性的开放问题。
• 利用已知边界 C_{17}(0.65) = 0.145，得出了改进的上界 lim_{d→1} C(d)/(1−d) ≤ 0.4143。
• 该结果表明，C(d) 在 [0,1] 上可能为凸函数，因为极限等于下确界是 d=1 附近凸性的必要条件。
• 对于有限 n，当 d→1 时，C_n(d)/(1−d) → 1，表明 C_n(d) 在 d=1 附近不具凸性，但这一行为并不排除极限函数 C(d) 的凸性。
• 极限的存在使得可以利用中等 d 值（如 d=0.65）处 C(d) 的边界，推导出高删除概率容量极限的可证明边界。
• 本文提供了一个框架，通过在 d≈0.65 附近对更大的 n 数值计算 C_n(d)，以进一步改进 lim_{d→1} C(d)/(1−d) 的上界，尽管该过程计算量较大。