[论文解读] A new class of efficient and robust energy stable schemes for gradient flows

Jie Shen, Jie Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 39被引用 39

一句话总结

本文提出了一种新颖的标量辅助变量（SAV）方法，用于构建梯度流的无条件能量稳定、线性且高阶的数值格式。通过引入标量辅助变量解耦非线性项，该方法使常系数线性系统的求解更加高效，实现了无条件的二阶精度，并可扩展至高阶BDF格式，表现出稳健性能，尤其在结合自适应时间步长时更为显著。

ABSTRACT

We propose a new numerical technique to deal with nonlinear terms in gradient flows. By introducing a scalar auxiliary variable (SAV), we construct efficient and robust energy stable schemes for a large class of gradient flows. The SAV approach is not restricted to specific forms of the nonlinear part of the free energy, and only requires to solve {\it decoupled} linear equations with {\it constant coefficients}. We use this technique to deal with several challenging applications which can not be easily handled by existing approaches, and present convincing numerical results to show that our schemes are not only much more efficient and easy to implement, but can also better capture the physical properties in these models. Based on this SAV approach, we can construct unconditionally second-order energy stable schemes; and we can easily construct even third or fourth order BDF schemes, although not unconditionally stable, which are very robust in practice. In particular, when coupled with an adaptive time stepping strategy, the SAV approach can be extremely efficient and accurate.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒且高效的数值框架，用于求解梯度流，同时保持能量稳定性。
• 克服现有方法（如凸分裂法和稳定化方法）的局限性，后者在每个时间步长内需进行非线性求解或受到时间步长的严格限制。
• 在保持能量稳定性和线性系统结构的前提下，实现高阶精度（二阶、三阶和四阶）。
• 将适用范围扩展至具有非局部或多重积分自由能项的复杂模型。
• 通过解耦为具有常系数的线性系统，促进实际实现。

提出的方法

• 引入一个标量辅助变量（SAV），定义为自由能中非线性部分的平方根，将原系统转化为等价系统。
• 将梯度流重新表述为一个新系统，其中SAV与原始变量解耦，从而得到具有常系数的线性方程。
• 利用SAV方法构造无条件能量稳定的二阶格式，并将其扩展至更高阶的BDF格式。
• 通过证明离散能量定律与连续能量定律一致，确保能量稳定性，其中SAV捕捉了非线性能量贡献。
• 通过在每个时间步长仅求解具有常系数矩阵的线性系统，避免非线性求解，从而实现高效计算。
• 将自适应时间步长与SAV框架结合，以在长时间模拟中提升效率和精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种新数值方法，确保对一大类梯度流实现无条件能量稳定，且在每个时间步长内无需求解非线性系统？
• RQ2 如何在保持线性结构的前提下，实现能量稳定格式中三阶和四阶的高阶精度？
• RQ3 与IEQ或凸分裂法等现有方法相比，SAV方法是否能更有效地处理非局部或多重积分自由能项？
• RQ4 自适应时间步长对SAV基格式在长时间模拟中的效率和精度有何影响？
• RQ5 与传统格式（如凸分裂法或稳定化方法）相比，SAV方法在性能和稳定性方面表现如何？

主要发现

• SAV方法可生成无条件二阶能量稳定格式，其效率显著高于凸分裂法，且实现更为简便。
• 该方法可为包括Allen–Cahn方程和Cahn–Hilliard方程在内的广泛梯度流构建无条件稳定、线性且二阶的格式。
• 基于SAV框架的三阶和四阶BDF格式在实际应用中表现稳健，尽管它们并非无条件稳定。
• 数值结果表明，SAV方法在使用自适应时间步长时，精度显著高于二阶BDF格式。
• SAV方法适用于具有非局部自由能和多重积分项的模型，其适用范围已超越IEQ方法的范畴。
• 当与自适应时间步长结合时，SAV格式在效率和精度方面表现极为出色，在长时间模拟中优于标准格式。