[论文解读] A new class of Pseudo-Hermitian Hamiltonians with real spectra

Abouzeid M. Shalaby|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2008

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 2

一句话总结

本文引入了一类具有速度依赖势的新型非厄米哈密顿量，其能谱为实数且下有界，确保了谱稳定性。通过荷算符与超伴态，建立了超代数结构，揭示了此类非PT对称哈密顿量可通过正则变换映射到其超伴态，暗示了超对称性自发破缺——与之相反，其PT对称对应物无法实现此类映射，从而揭示了PT对称性与超对称性之间的一种新颖关联。

ABSTRACT

We introduce and study a class of non-Hermitian Hamiltonians which have velocity dependent potentials. Since stability can not be advocated directly from the classical potential, we show that the energy spectra are real and bounded from below which proves the stability of the spectra of all members in the class. We find that the introduced class of non-Hermitian Hamiltonians do have a corresponding superpartner class of non-Hermitian Hamiltonians. We were able to introduce supercharges which in conjunction with the corresponding super Hamiltonians constitute a closed super algebra. Among the introduced Hamiltonians, we show that non-$\mathcal{PT }$-symmetric Hamiltonians can be transformed into their corresponding superpartner Hamiltonians via a specific canonical transformation while the $\mathcal{PT }$-symmetric ones failed to be mapped to their corresponding superpartner Hamiltonians via the same canonical transformation. Since canonical transformations preserve the spectrum, we conclude that non-$\mathcal{PT }$-symmetric Hamiltonians out of the introduced class of Hamiltonians have the same spectrum as the corresponding superpartner Hamiltonians and thus Susy is broken for such Hamiltonians. This kind of intertwining of $\mathcal{PT }$-symmetry and Supersymmetry is new as all the so far discussed cases concentrate on Hamiltonians of broken $\mathcal{PT }% $-symmetry that have broken Supersymmetry too while we showed that Susy can be also broken for non-$\mathcal{PT }$-symmetric and non-Hermitian Hamiltonians .

研究动机与目标

• 识别并分析一类具有速度依赖势的新型非厄米哈密顿量，其能谱保持为实数。
• 研究在非厄米系统中，超对称性在何种条件下得以保持或破缺。
• 探讨正则变换在关联哈密顿量与其超伴态之间的角色，尤其区分PT对称与非PT对称情形。
• 阐明非厄米量子系统中PT对称性与超对称性的相互作用，特别是在PT对称性不意味着超对称性破缺的情况下。

提出的方法

• 作者构造了一类具有速度依赖势的非厄米哈密顿量，通过谱分析确保其能谱为实数且下有界。
• 定义了荷算符，与哈密顿量共同构成闭合的超代数，为系统建立超对称结构。
• 应用正则变换将非PT对称哈密顿量映射到其超伴态哈密顿量，保持能谱不变。
• 相同的正则变换无法将PT对称哈密顿量映射到其超伴态，表明其行为存在结构性差异。
• 通过证明能谱下有界，确认了谱稳定性，确保物理一致性。
• 通过比较PT对称与非PT对称哈密顿量在相同变换下的行为，分离出对称性在超对称性破缺中所起的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使缺乏PT对称性，具有速度依赖势的非厄米哈密顿量是否仍可具有实数且有下界的能量谱？
• RQ2 正则变换的存在如何与非厄米系统中超对称性破缺相关联？
• RQ3 为何PT对称哈密顿量无法通过与非PT对称情形相同的正则变换映射到其超伴态？
• RQ4 在非厄米量子系统中，PT对称性与超对称性之间关系的本质是什么？
• RQ5 在非PT对称的非厄米哈密顿量中，超对称性是否可能发生破缺，这对谱稳定性的普遍理解有何启示？

主要发现

• 所引入的非厄米哈密顿量类具有实数且下有界的能量谱，确认了谱稳定性，尽管缺乏PT对称性。
• 通过荷算符与哈密顿量构建了闭合的超代数，证明了该系统具有稳定的超对称结构。
• 该类中的非PT对称哈密顿量可通过正则变换映射到其超伴态，且能谱保持不变。
• 相同的正则变换无法将PT对称哈密顿量映射到其超伴态，表明其代数结构存在根本性差异。
• 尽管能谱等价，非PT对称哈密顿量中的超对称性因正则变换无法连接其与超伴态而发生破缺。
• 本研究揭示了PT对称性与超对称性之间一种新颖的相互作用，表明即使在缺乏PT对称性的情况下，超对称性破缺仍可发生。