[论文解读] A new complete Calabi-Yau metric on $\mathbb{C}^3$

Yang Li|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过利用 H.-J. Hein 的 Monge-Ampère 方程存在性准则，对渐近半平坦度量进行扰动，构建了 $\mathbb{C}^3$ 上具有最大体积增长的新完整 Calabi-Yau 度量，其奇异切锥为 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{C}$。主要贡献在于构造出一个非平凡的 Ricci 平坦度量，其渐近几何结构与 Gromov-Hausdorff 收敛理论中的一个猜想相矛盾，且该度量可作为 Lefschetz K3 纤维丛中节点点附近坍缩行为的模型。

ABSTRACT

Motivated by the study of collapsing Calabi-Yau threefolds with a Lefschetz K3 fibration, we construct a complete Calabi-Yau metric on $\mathbb{C}^3$ with maximal volume growth, which in the appropriate scale is expected to model the collapsing metric near the nodal point. This new Calabi-Yau metric has singular tangent cone at infinity, and its Riemannian geometry has certain non-standard features near the singularity of the tangent cone $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2 imes \mathbb{C}$, which are more typical of adiabatic limit problems. The proof uses an existence result in H-J. Hein's PhD thesis to perturb an asymptotic approximate solution into an actual solution, and the main difficulty lies in correcting the slowly decaying error terms.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{C}^3$ 上构造一个具有最大体积增长的完整 Calabi-Yau 度量，以模拟 Lefschetz K3 纤维丛中节点点附近的坍缩行为。
• 解决由半平坦假设引起的近似 Calabi-Yau 度量中缓慢衰减误差项的几何修正难题。
• 为具有奇异纤维的坍缩 Calabi-Yau 3-流形临界点附近的渐近几何提供一个模型度量。
• 证明此类度量可存在一个奇异的无穷远切锥，从而推翻 Gromov-Hausdorff 收敛理论中的一个猜想。

提出的方法

• 利用限制在纤维 $\sum z_i^2 = y$ 上的 Stenzel 度量的半平坦度量，构造一个渐近近似解。
• 对假设进行修改和缩放，以确保体积形式渐近等价于 $\mathbb{C}^3$ 上标准体积形式的倍数。
• 仔细分析近似度量中的误差项，特别是衰减缓慢的项，这是主要的分析挑战。
• 将 H.-J. Hein 的近似 Calabi-Yau 度量扰动生成精确解的存在性准则，应用于 $\mathbb{C}^3$ 的非紧情形。
• 使用非紧流形上 Monge-Ampère 方程的标准技术完成扰动，确保所得度量为 Ricci 平坦且 Kähler。
• 证明该度量在无穷远处具有同构于 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{C}$ 的奇异切锥，且在坍缩区域表现出非标准的拉普拉斯行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{C}^3$ 上构造一个具有最大体积增长和奇异切锥 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{C}$ 的完整 Calabi-Yau 度量？
• RQ2 此类度量的存在是否推翻了关于 $\mathbb{C}^3$ 上完整 Ricci 平坦度量在无穷远处的切锥必为光滑的猜想？
• RQ3 该度量能否作为 Lefschetz K3 纤维丛中节点纤维附近坍缩行为的局部模型？
• RQ4 在 Monge-Ampère 方程中，何种最优衰减速率的扰动仍能保证唯一 Calabi-Yau 度量的存在？
• RQ5 是否存在非平凡的该度量变形，同时保持体积形式和纤维化结构？

主要发现

• 构造出一个在 $\mathbb{C}^3$ 上具有最大体积增长的完整 Calabi-Yau 度量，其在无穷远处的切锥为奇异簇 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{C}$。
• 该度量通过扰动 Monge-Ampère 方程的渐近近似解获得，主要难点在于控制缓慢衰减的误差项。
• 该构造为 Gromov-Hausdorff 收敛理论中的一个猜想提供了反例：该度量为 Ricci 平坦且具有最大体积增长，但在无穷远处具有奇异切锥。
• 该度量上的拉普拉斯算子在靠近奇异锥的坍缩区域表现出非标准行为，从而将共轭维数为二的问题简化为求解常微分方程。
• 该度量预计可作为 Lefschetz K3 纤维丛中节点点附近坍缩极限的模型，类似于 Eguchi-Hanson 度量对 $A_1$-奇点的建模作用。
• 此类度量的模空间至少包含同构于 $SO(3,\mathbb{C})/SO(3,\mathbb{R}) \simeq SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 的齐性空间，该空间源于保持纤维化和度量结构的对称性。