[论文解读] A new complexity function, repetitions in Sturmian words, and irrationality exponents of Sturmian numbers

Yann Bugeaud, Dong Han Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2015

semigroups and automata theory参考文献 40被引用 13

一句话总结

本文引入了一种新的复杂度函数 r(n, x)，用于衡量无限词 x 中包含任意长度为 n 的因子的两个出现的最短前缀长度。通过 r(n, x) 对最终周期词和 Sturmian 词进行了表征，证明了对于 Sturmian 词 s，有 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5，且该界是紧致的。由此导出 Sturmian 数的无理性指数的最佳可能下界，并应用于证明当 a ≥ 34 时，log(1 + 1/a) 的 b 进制展开不是 Sturmian 的。

ABSTRACT

We introduce and study a new complexity function in combinatorics on words, which takes into account the smallest second occurrence time of a factor of an infinite word. We characterize the eventually periodic words and the Sturmian words by means of this function. Then, we establish a new result on repetitions in Sturmian words and show that it is best possible. Let $b \\ge 2$ be an integer. We deduce a lower bound for the irrationality exponent of real numbers whose sequence of $b$-ary digits is a Sturmian sequence over $\\{0,1,\\ldots, b-1\\}$ and we prove that this lower bound is best possible. As an application, we derive some information on the $b$-ary expansion of $\\log(1+\\frac{1}{a})$,for any integer $a \\ge 34$.

研究动机与目标

• 定义并分析一种新的复杂度函数 r(n,x)，用于捕捉包含某个长度为 n 的因子的两个出现的最短前缀长度。
• 通过 r(n,x) 的渐近行为对最终周期词和 Sturmian 词进行表征。
• 为 Sturmian 词 s 建立 liminf r(n,s)/n 的紧致上界，并证明该界为最优。
• 利用该界推导出 Sturmian 数无理性指数的最佳可能下界。
• 将结果应用于证明 log(1 + 1/a) 的 b 进制展开在 a ≥ 34 时不为 Sturmian。

提出的方法

• 将 r(n,x) 定义为满足其前缀长度为 m 时包含某个长度为 n 的因子的两个出现的最小长度 m。
• 利用 Sturmian 词的组合性质分析重复因子的结构，并推导出 r(n,x) 的界。
• 证明对于任意 Sturmian 词 s，有 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5，并构造一个实现等号的 Sturmian 词。
• 通过将 r(n,x) 的增长率与实数的无理性指数关联，建立 r(n,x) 与丢番图逼近之间的联系，其中这些实数的 b 进制展开为 Sturmian。
• 利用 r(n,x) 的界，推导出 Sturmian 数的无理性指数下界为 5/3 + 4√10/15。
• 将结果应用于数 log(1 + 1/a)，通过反证法证明其 b 进制展开在 a ≥ 34 时不为 Sturmian，因其与推导出的无理性指数界矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sturmian 词的函数 r(n,x) 的渐近行为如何？该行为能否在所有 Sturmian 词中统一有界？
• RQ2 对 Sturmian 词 s，不等式 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5 是否为紧致上界？等号是否可实现？
• RQ3 r(n,x) 的增长率如何与 b 进制展开为 Sturmian 的实数的无理性指数相关联？
• RQ4 新的复杂度函数 r(n,x) 能否用于建立 Sturmian 数无理性指数的最佳可能下界？
• RQ5 对于足够大的整数 a，log(1 + 1/a) 的 b 进制展开是否不为 Sturmian？若是，原因是什么？

主要发现

• 函数 r(n,x) 可表征最终周期词：当且仅当 x 为最终周期词时，r(n,x) 有界。
• 对于 Sturmian 词 s，不等式 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5 成立，且该界为最优，因为存在特定 Sturmian 词实现等号。
• 任何 Sturmian 数的无理性指数至少为 5/3 + 4√10/15，且该下界为最优。
• 当 a ≥ 34 时，log(1 + 1/a) 的 b 进制展开不是 Sturmian，因为这将与推导出的无理性指数界矛盾。
• 函数 r(n,x) 比经典子词复杂度 p(n,x) 与丢番图逼近有更强的关联，且可在超越性判别准则中替代 p(n,x)。