[论文解读] A new conception for computing gröbner basis and its applications

Lei Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用 20

一句话总结

本文提出了一种统一的TRB（Top Reductional Basis）算法框架，该框架将F5、扩展F5和GVW算法统一起来，实现了对这些算法有限终止性的系统分析。该研究提出了Mpair准则，其在阻止无用S-多项式方面优于现有准则，并确保所有TRB对均被正确计算。

ABSTRACT

This paper presents a conception for computing gröbner basis. We convert some of gröbner-computing algorithms, e.g., F5, extended F5 and GWV algorithms into a special type of algorithm. The new algorithm's finite termination problem can be described by equivalent conditions, so all the above algorithms can be determined when they terminate finitely. At last, a new criterion is presented. It is an improvement for the Rewritten and Signature Criterion.

研究动机与目标

• 将F5、扩展F5和GVW等不同Gröbner基算法统一到一个共同的计算框架下。
• 通过提供等价的终止条件，解决GVW和F5算法长期存在的有限终止性开放问题。
• 提出一种新的过滤准则（Mpair），其阻止无用S-多项式的效率高于现有的Rewritten和Signature准则。
• 建立一个通用平台，用于Gröbner基计算中算法的比较、实现与未来扩展。

提出的方法

• 形式化定义一种通用的TRB（Top Reductional Basis）算法，使其作为F5、扩展F5和GVW算法的特例被包含。
• 定义关键结构：对 (u,v) ∈ P^d × P，签名 (lm(u))，以及顺序（单项式、签名、对序）。
• 引入Mpair准则：若一对 [m,p] 既非初始对，也非DONE集中的M-对，则被阻止。
• 将M-对定义为满足 m ≠ 1 且 p 在签名和对序上不劣于其他对的最小乘积对。
• 使用顶端约化与CheckStore机制，始终接受通过MJCriterions（GSyzygy + Mpair）的有效J-对。
• 证明TRB-MJ算法可计算所有TRB对，且仅存储syzygy或TRB签名，从而保证正确性与完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 F5、扩展F5和GVW算法在何种条件下能有限终止？
• RQ2 能否构建一个统一框架，以分析和比较现代Gröbner基算法的正确性与终止性？
• RQ3 Mpair准则在阻止无用S-多项式方面，与现有准则（Rewritten、Signature）相比表现如何？
• RQ4 Mpair准则能否检测到Rewritten和Signature准则所遗漏的非TRB签名？
• RQ5 TRB-MJ算法是否足以计算所有TRB对，同时避免冗余计算？

主要发现

• F5和扩展F5算法始终有限终止，因为它们属于正则TRB算法。
• 当单项式序与签名序几乎兼容时，GVW算法可有限终止。
• Mpair准则阻止的无用对多于Rewritten和Signature准则，且能检测到这些准则所遗漏的非TRB签名。
• Mpair准则确保仅计算TRB签名（及syzygy签名），从而缩小搜索空间。
• 所有TRB对均由TRB-MJ算法计算得出，其证明基于每个TRB签名均可表示为MJ-签名的事实。
• TRB-MJ算法为正则TRB算法，且其CheckStore对通过MJCriterions的有效J-对始终返回true。