[论文解读] A new conformal invariant on 3-dimensional manifolds

Yuxin Ge, Guofang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文在三维黎曼流形上建立了一个新的共形不变量，并证明了在非负标量曲率的闭三维流形上，De Lellis-Topping 不等式成立，且最优常数为 9。关键结果是该不变量满足 $\widetilde{Y}([g_0]) \leq 1/3$，这不仅蕴含了该不等式，还刻画了空间形式为等号成立的情形。

ABSTRACT

By improving the analysis developed in the study of $\s_k$-Yamabe problem, we prove in this paper that the De Lellis-Topping inequality is true on 3-dimensional Riemannian manifolds of nonnegative scalar curvature. More precisely, if $(M^3, g)$ is a 3-dimensional closed Riemannian manifold with non-negative scalar curvature, then \[\int_M |Ric-\frac{\bar R} 3 g|^2 dv (g)\le 9\int_M |Ric-\frac{R} 3 g|^2dv(g), \] where $\bar R=vol (g)^{-1} \int_M R dv(g)$ is the average of the scalar curvature $R$ of $g$. Equality holds if and only if $(M^3,g)$ is a space form. We in fact study the following new conformal invariant \[\ds \widetilde Y([g_0]):=\sup_{g\in {\cal C}_1([g_0])}\frac {\ds vol(g)\int_M \s_2(g) dv(g)} {\ds (\int_M \s_1(g) dv(g))^2}, \] where ${\cal C}_1([g_0]):=\{g=e^{-2u}g_0\,|\, R>0\}$ and prove that $\widetilde Y([g_0])\le 1/3$, which implies the above inequality.

研究动机与目标

• 在三维闭黎曼流形上建立一个新的共形不变量 $\widetilde{Y}([g_0])$。
• 证明在非负标量曲率的三维流形上，De Lellis-Topping 不等式具有最优常数 9。
• 刻画不等式中等号成立的情形恰好为空间形式。
• 将 $\sigma_k$-Yamabe 问题的分析拓展至涉及 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$-曲率的新不变量。
• 猜想：当且仅当流形共形等价于三维球面时，有 $\widetilde{Y}([g_0]) = 1/3$。

提出的方法

• 定义共形不变量 $\widetilde{Y}([g_0]) := \sup_{g \in \mathcal{C}_1([g_0])} \frac{\text{vol}(g) \int_M \sigma_2(g) \, dv(g)}{\left(\int_M \sigma_1(g) \, dv(g)\right)^2}$，其中 $\mathcal{C}_1([g_0])$ 是正标量曲率的共形度量集合。
• 利用 $\sigma_k$-Yamabe 问题框架中的高级分析，证明 $\widetilde{Y}([g_0]) \leq 1/3$。
• 通过涉及 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$-曲率的恒等式，建立 De Lellis-Topping 不等式与 $\widetilde{Y}([g_0])$ 上界之间的等价性。
• 利用泛函 $J(g) = \left(\int \sigma_1 \, dv\right)^2 / \left(\text{vol} \int \sigma_2 \, dv\right)$ 的 Euler-Lagrange 方程，分析极值度量。
• 借助 Gursky-Viaclovsky 和 Bray 的体积比较定理，对满足 $\sigma_2(g) = b$ 的度量，界定 $J_2(g) = \text{vol}(g)^{1/3} \int \sigma_2 \, dv$。
• 应用爆破分析与奇异解的分类，研究共形不变量的极大化器的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非负标量曲率的三维流形上，De Lellis-Topping 不等式是否具有最优常数 9？
• RQ2 对于具有正 Yamabe 常数的三维流形，新的共形不变量 $\widetilde{Y}([g_0])$ 是否有上界 $1/3$？
• RQ3 De Lellis-Topping 不等式中的等号是否恰好刻画了三维空间形式？
• RQ4 共形不变量 $\widetilde{Y}([g_0])$ 是否在某个度量下被实现？
• RQ5 当且仅当流形共形等价于标准三维球面时，是否成立 $\widetilde{Y}([g_0]) = 1/3$？

主要发现

• 在非负标量曲率的三维闭黎曼流形上，De Lellis-Topping 不等式成立，且最优常数为 9：$\int_M |\text{Ric} - \frac{\overline{R}}{3}g|^2 \, dv \leq 9 \int_M |\text{Ric} - \frac{R}{3}g|^2 \, dv$。
• $\widetilde{Y}([g_0]) \leq 1/3$ 对所有具有正 Yamabe 常数的三维闭流形成立，这蕴含了最优的 De Lellis-Topping 不等式。
• 等号成立当且仅当流形是空间形式，即局部等距于三维球面、欧几里得空间或双曲空间。
• 当且仅当流形共形等价于三维球面空间形式时，有 $\widetilde{Y}([g_0]) = 1/3$。
• 在约束 $\sigma_2(g) = \text{const}$ 下，泛函 $J_2(g) = \text{vol}(g)^{1/3} \int_M \sigma_2(g) \, dv(g)$ 在标准三维球面度量上达到最大值。
• 猜想 4 蕴含定理 2：若 $\sup_{g \in \mathcal{C}_1([g_0])} J_2(g) \leq J_2(g_{\mathbb{S}^3})$，则 $\widetilde{Y}([g_0]) \leq 1/3$。