[论文解读] A New Conjecture on Hardness of 2-CSP’s with Implications to Hardness of Densest k-Subgraph and Other Problems

Julia Chuzhoy, Mina Dalirrooyfard+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新的低次CSP猜想，该猜想暗示了Densest k-Subgraph及其相关问题的强不可近似性结果。通过将这些问题约化为低次2-CSP，并利用该猜想，作者建立了近似不可分界的紧致界限，表明在该新猜想下，现有近似算法在本质上是最优的，该猜想介于d-to-1猜想与标准2-验证者协议之间。

ABSTRACT

We propose a new conjecture on hardness of 2-CSP’s, and show that new hardness of approximation results for Densest k-Subgraph and several other problems, including a graph partitioning problem, and a variation of the Graph Crossing Number problem, follow from this conjecture. The conjecture can be viewed as occupying a middle ground between the d-to-1 conjecture, and hardness results for 2-CSP’s that can be obtained via standard techniques, such as Parallel Repetition combined with standard 2-prover protocols for the 3SAT problem. We hope that this work will motivate further exploration of hardness of 2-CSP’s in the regimes arising from the conjecture. We believe that a positive resolution of the conjecture will provide a good starting point for other hardness of approximation proofs. Another contribution of our work is proving that the problems that we consider are roughly equivalent from the approximation perspective. Some of these problems arose in previous work, from which it appeared that they may be related to each other. We formalize this relationship in this work.

研究动机与目标

• 提出一个关于低次2-CSP困难性的新猜想，该猜想介于d-to-1猜想与标准2-验证者协议之间。
• 为Densest k-Subgraph、Dense k-Coloring、(r,h)-Graph Partitioning以及Maximum Bounded-Crossing Subgraph建立条件性不可近似性结果。
• 证明在新猜想下，这四个问题在近似复杂性上大致等价。
• 形式化并强化一种直觉：即Densest k-Subgraph与(r,h)-Graph Partitioning等在近似可解性方面密切相关。

提出的方法

• 将低次CSP猜想作为2-CSP中具有有界度的困难性假设提出。
• 通过一系列约化，证明某一问题（如Densest k-Subgraph）的困难性可推出其他问题的困难性。
• 应用正则化技术，将一般图转化为适合约化的正则形式。
• 构造辅助图，并使用概率论证来验证良好子图或检测问题子图。
• 使用线性规划松弛与舍入方法近似求解中间问题，通过集中不等式控制误差界。
• 利用该猜想推导出紧致的不可近似比，表明现有算法在对数因子范围内已达到最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于低次2-CSP的新猜想是否能暗示Densest k-Subgraph及其相关问题的强不可近似性？
• RQ2 Densest k-Subgraph、Dense k-Coloring、(r,h)-Graph Partitioning与Maximum Bounded-Crossing Subgraph在近似复杂性上是否近似等价？
• RQ3 低次CSP猜想是否为d-to-1猜想与标准2-验证者协议在3-SAT中的自然桥梁？
• RQ4 该猜想能否用于证明Densest k-Subgraph的紧致不可近似比，与已知算法性能相匹配？
• RQ5 正则化与概率认证在将一般实例约化为结构化实例以用于困难性证明中扮演何种角色？

主要发现

• 在该猜想成立的假设下，低次CSP猜想意味着Densest k-Subgraph不存在多项式时间O(α(n))-近似算法，其中α(n) = o(log n)。
• 本文证明，在该猜想下，Densest k-Subgraph、Dense k-Coloring、(r,h)-Graph Partitioning与Maximum Bounded-Crossing Subgraph均具有O(poly log n)-近似等价性。
• 展示了从Densest k-Subgraph到Bipartite Densest (k1,k2)-Subgraph的约化，其中后者存在O(α(N²))-近似算法意味着前者存在O(α(N²) · poly log N)-近似算法。
• 作者证明，若存在问题子图H，则算法以至多2/3的概率返回'accept'，从而为线性规划松弛提供分离 oracle。
• LP舍入过程以高概率产生(r,h)-Graph Partitioning的O(α(N²) · poly log N)-近似解。
• 本研究表明，在新猜想下，现有Densest k-Subgraph近似算法本质上是最优的，除非该猜想不成立，否则无法获得更优的近似比。