[论文解读] A new connection in a Riemannian manifold

Mukut Mani Tripathi|ArXiv.org|Feb 5, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 19

一句话总结

本文提出了一种在黎曼流形上新的广义线性联络，通过引入一个1-形式、一个(1,1)-张量场和标量函数，统一了多种已知联络（如半对称、四分之一对称、Weyl及度量递归联络）。其主要贡献是给出了该新联络曲率张量的闭式表达式，该表达式在特定情况下可退化为已知的曲率表达式。

ABSTRACT

In a Riemannian manifold, the existence of a new connection is proved. In particular cases, this connection reduces to several symmetric, semi-symmetric and quarter-symmetric connections; even some of them are not introduced so far. We also find formula for curvature tensor of this new connection.

研究动机与目标

• 开发黎曼几何中多种线性联络（包括对称、度量、非度量及递归型）的统一框架。
• 解决一个开放问题：是否存在单一联络可统一广义半对称度量与非度量联络、Weyl联络及其他已知类型。
• 推导该新联络曲率张量的一般公式，以实现对其几何性质的系统分析。
• 证明该新联络可包含此前未分类的联络作为特例，从而扩展微分几何结构的范围。
• 通过一般联络公式的参数化约化，对已知及新发现的联络进行完整分类。

提出的方法

• 在 $n$-维黎曼流形上，利用Levi-Civita联络 $\nabla$、1-形式 $u$、(1,1)-张量 $\varphi$ 以及标量函数 $f_1, f_2$ 定义一个新的线性联络 $\tilde{\nabla}$。
• 通过涉及 $u(Y)\varphi_1 X$、$u(X)\varphi_2 Y$、$g(\varphi_1 X, Y)U$ 及含 $u_1, u_2, U_1, U_2$ 的度量修正项，构造 $\tilde{\nabla}_X Y$ 作为 $\nabla_X Y$ 的修正形式。
• 利用 $\varphi_1, \varphi_2$ 将张量 $\Phi = \varphi$ 分解为对称部分 $\Phi_1$ 与反对称部分 $\Phi_2$，以分离不同几何贡献。
• 使用包含 $R(X,Y)Z$、联络项的对称与反对称部分的一般公式，推导新联络的曲率张量 $\tilde{R}(X,Y)Z$。
• 建立度量相容性条件 $\tilde{\nabla}g = f_1 u_1 \otimes g + f_2 (u_2 \otimes g + g \otimes u_2)$，表明联络的非度量性由参数控制。
• 验证在特定参数选择下，新联络可退化为已知联络（如Weyl、半对称、Ricci四分之一对称联络），从而确认其普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个统一的联络框架，可将黎曼几何中的半对称、四分之一对称、Weyl及度量递归联络等不同类型线性联络统一起来？
• RQ2 该新联络的曲率张量的一般形式为何？其与已知联络曲率张量之间有何关系？
• RQ3 在何种参数设置下，新联络可退化为特定已知联络（如Weyl或半对称非度量联络）？
• RQ4 新联络的度量相容性如何依赖于参数 $f_1, f_2, u_1, u_2$？
• RQ5 是否存在此前未被分类的联络，可作为该广义框架下的特例出现？

主要发现

• 新联络 $\tilde{\nabla}$ 由公式 $\tilde{\nabla}_X Y = \nabla_X Y + u(Y)\varphi_1 X - u(X)\varphi_2 Y - g(\varphi_1 X, Y)U - f_1\{u_1(X)Y + u_1(Y)X - g(X,Y)U_1\} - f_2 g(X,Y)U_2$ 唯一确定。
• 新联络的曲率张量由 $\tilde{R}(X,Y)Z = R(X,Y)Z + s(X,Z)Y - s(Y,Z)X + \{s(X,Y) - s(Y,X)\}Z$ 给出，其中 $s(X,Y) = (\nabla_X \omega)Y - \omega(X)\omega(Y)$。
• 当 $u=0$，$f_1 = 1/2$，$f_2 = 0$，$u_1 = \omega$，$U_1 = B$ 时，联络退化为Weyl联络，满足 $\tilde{\nabla}g = \omega \otimes g$。
• 当 $f_1 = 0$，$f_2 = -1$，$\varphi = \text{Id}$，$u_2 = u$ 时，联络变为半对称非度量联络 $\tilde{\nabla}_X Y = \nabla_X Y + u(Y)X$，满足 $\tilde{\nabla}_X g(Y,Z) = -u(Y)g(X,Z) - u(Z)g(X,Y)$。
• 当 $f_1 = 1$，$f_2 = 0$，$\varphi = \text{Id}$，$u_1 = u$ 时，联络变为半对称递归度量联络 $\tilde{\nabla}_X Y = \nabla_X Y - u(X)Y$，满足 $\tilde{\nabla}g = 2u \otimes g$。
• 当 $u = 0$ 时，联络为对称联络；当 $f_1 = -1$，$f_2 = -1$，$u_1 = u_2 = \omega$ 时，联络与Levi-Civita联络保持射影等价，形式为 $\tilde{\nabla}_X Y = \nabla_X Y + \omega(X)Y + \omega(Y)X$。