[论文解读] A new convergence proof for approximations of the Stefan problem

Robert Eymard, Thierry Gallouët|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2022

Numerical methods in inverse problems被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于负阶Sobolev空间紧致性的有限元逼近的Stefan问题的新收敛性证明。通过引入趋于零的扩散项并采用弱形式，作者在 $L^2(]0,T[, H^{-1}(Ω))$ 中建立了正则化解序列的收敛性，并在 $L^2(]0,T[, H^1_0(\u03a9))$ 中证明了 $\phi(u_n)$ 的弱收敛性，从而在常规与非光滑数据假设下证明了解向弱解的收敛性。

ABSTRACT

We consider the Stefan problem, firstly with regular data and secondly with irregular data. In both cases is given a proof for the convergence of an approximation obtained by regularising the problem. These proofs are based on weak formulations and on compactness results in some Sobolev spaces with negative exponents.

研究动机与目标

• 提出一种基于负阶Sobolev空间紧致性的Stefan问题收敛性证明的替代方法。
• 将收敛性结果推广至 $f \in L^1(]0,T[, L^1(\u03a9))$ 和 $u_0 \in L^1(\u03a9)$ 的非光滑数据，且无需时间正则化。
• 建立正则化格式在 $L^2(]0,T[, H^{-1}(\u03a9))$ 中的收敛性，以及 $\phi(u_n)$ 在 $L^2(]0,T[, H^1_0(\u03a9))$ 中的弱收敛性。
• 在数据最小正则性假设下，证明弱解的存在性与唯一性。
• 将基于负阶Sobolev范数的紧致性技术推广至自由边界问题。

提出的方法

• 通过在原方程中加入 $-\frac{1}{n}\Delta u$ 项，引入正则化问题。
• 在 $L^2(]0,T[, H^{-1}(\u03a9))$ 和 $L^2(]0,T[, H^1_0(\u03a9))$ 中使用弱形式处理时间与空间导数。
• 在负阶Sobolev空间 $H^{-1}(\u03a9)$ 中应用紧致性论证，令 $n \to \infty$ 时取极限。
• 运用Minty技巧与弱/强收敛性，识别出 $\phi(u)$ 为 $\phi(u_n)$ 的极限。
• 对于非光滑数据，构造逼近序列 $f^{(n)} \to f$ 与 $u_0^{(n)} \to u_0$ 在 $L^1$ 中收敛，随后应用相同的紧致性框架。
• 使用截断技巧与Ascoli定理，证明时间正则性与初始条件收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用负阶Sobolev空间中的紧致性而非经典的Aubin-Lions方法，证明正则化Stefan问题的收敛性？
• RQ2 该方法是否可推广至 $f$ 与 $u_0$ 为 $L^1$-数据且无需额外时间正则化的情形？
• RQ3 当 $\phi$ 仅为Lipschitz且非减时，如何建立 $\phi(u_n)$ 的弱收敛性？
• RQ4 在 $L^1$-数据情形下，假设 $\phi$ 在无穷远处主导一个线性函数，其作用是什么？
• RQ5 能否利用 $u_n$ 在 $C([0,T], H^{-1}(\u03a9))$ 中的收敛性，恢复初始条件 $u(0) = u_0$？

主要发现

• 正则化解 $u_n$ 在 $C([0,T], H^{-1}(\u03a9))$ 中收敛于弱解 $u$，且在 $L^\infty(]0,T[, L^2(\u03a9))$ 中弱收敛。
• $\phi(u_n)$ 在 $L^2(]0,T[, H^1_0(\u03a9))$ 中弱收敛于 $\phi(u)$，确保非线性项被正确捕捉。
• 对于 $L^1$-数据，在 $\phi$ 在无穷远处主导线性函数的假设下，收敛性在 $C([0,T], W^{-1,1}_\star(\u03a9))$ 中成立。
• 通过Ascoli定理与 $\partial_t u_n \in L^1(]0,T[, W^{-1,1}_\star(\u03a9))$ 获得的均匀时间正则性，成功恢复初始条件 $u(0) = u_0$。
• 该证明通过依赖负阶Sobolev紧致性，避免了时间正则化，相较于文献[1]和[2]中的方法有所改进。
• 建立了新的 $L^2(]0,T[, H^{-1}(\u03a9))$ 中的紧致性结果，使得在最小正则性条件下实现收敛成为可能。