[论文解读] A new discontinuous Galerkin spectral element method for elastic waves with physically motivated numerical fluxes

Kenneth Duru, Leonhard Rannabauer+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种用于弹性波传播的新型不连续伽辽金（DG）谱元方法，采用基于物理的数值通量，可在任意适定的边界和界面条件下（包括非线性摩擦定律）确保稳定性与高阶精度。该方法通过一个受物理条件约束的类似黎曼问题构造通量，并利用能量稳定的惩罚权重对入射特征波进行惩罚，从而获得一个可证明稳定的迎风格式，适用于动态地震破裂模拟。

ABSTRACT

The discontinuous Galerkin (DG) method is an established method for computing approximate solutions of partial differential equations in many applications. Unlike continuous finite elements, in DG methods, numerical fluxes are used to enforce inter-element conditions, and internal and external physical boundary conditions. However, for certain problems such as elastic wave propagation in complex media, where several wave types and wave speeds are simultaneously present, a standard numerical flux may not be compatible with the physical boundary conditions. If surface or interface waves are present, this incompatibility may lead to numerical instabilities. We present a stable and arbitrary order accurate DG method for elastic waves with a physically motivated numerical flux. Our numerical flux is compatible with all well-posed, internal and external, boundary conditions, including linear and nonlinear frictional constitutive equations for modelling spontaneously propagating shear ruptures in elastic solids and dynamic earthquake rupture processes. We present numerical experiments in one and two space dimensions verifying high order accuracy and asymptotic numerical stability, and demonstrating potentials for modelling complex nonlinear frictional problems in elastic solids.

研究动机与目标

• 开发一种针对弹性波方程的稳定、高阶精度DG方法，且在复杂物理边界和界面条件下仍保持鲁棒性。
• 解决标准DG方法在模拟多种波型和波速的波传播时出现的数值不稳定问题，特别是在存在表面波或界面波的情况下。
• 实现由非线性摩擦本构定律（如滑移弱化行为）控制的动态地震破裂过程的精确模拟。
• 通过基于物理的数值通量构造，确保能量稳定性和渐近数值稳定性。
• 将方法扩展至多维空间并结合自适应网格加密，以应对复杂的真实地球物理场景。

提出的方法

• 该方法在单元界面通过求解一个受物理边界或界面条件（包括线性和非线性摩擦定律）约束的类似黎曼问题来构造数值通量。
• 通过基于弹性波PDE系统特征结构推导出的物理动机惩罚权重，对边界处的入射特征波进行惩罚。
• 基于通量雅可比矩阵的特征分解构造通量波动向量，以确保与底层PDE的波传播特性一致。
• 惩罚参数的选择旨在实现迎风格式，并生成一个离散能量估计，其形式与连续能量恒等式完全一致，从而保证稳定性。
• 空间算子的谱半径在边界条件变化时保持有界，从而支持高效的显式时间积分。
• 通过使用曲面、非结构化和自适应结构化笛卡尔网格，将方法扩展至二维和三维，并以滑移速率和波幅阈值驱动网格加密。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种不连续伽辽金方法，使其数值通量与弹性波方程的所有适定线性和非线性边界及界面条件兼容？
• RQ2 所提出的基于物理的通量是否能在复杂波相互作用和非线性摩擦界面存在的情况下，确保能量稳定性和渐近数值稳定性？
• RQ3 该方法能否在非均质介质和复杂几何条件下，实现弹性波问题的最优收敛率和高阶精度（最高达10阶）？
• RQ4 该方法在模拟由滑移弱化摩擦定律控制的动态地震破裂时表现如何，特别是在捕捉破裂传播和波辐射方面？
• RQ5 该方法能否高效地扩展至自适应多级网格加密，以同时解析局部破裂前缘和远场波场？

主要发现

• 所提出的数值通量确保了能量稳定性，并生成一个与连续能量恒等式完全一致的离散能量估计，从而证明了长期数值稳定性。
• 空间算子的谱半径在边界或界面条件变化时保持有界，支持高效的显式时间积分。
• 一维和二维数值实验验证了多项式阶数高达N=10时的最优收敛率，证明了高阶精度。
• 该方法成功模拟了由滑移弱化摩擦定律控制的断层上动态地震破裂，摩擦参数为fs=0.677，fd=0.525，dc=0.40 m，实现了稳定的破裂成核与传播。
• 基于滑移速率（>1 cm/s）和波幅（>50 cm/s均方根）的自适应网格加密在二维中成功追踪了破裂前缘和辐射弹性波，支持多级加密。
• 该方法已集成至ExaHyPE，并以Jupyter笔记本形式在SeismoLive上公开发布，支持教育和高性能计算应用。