[论文解读] A New Efficient Asymmetric Cryptosystem Based on the Square Root Problem

Muhammad Rezal Kamel Ariffin, Muhammad Asyraf Asbullah+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出 $AA_{\beta}$-密码系统，一种基于模平方根问题的新非对称密码系统，解决了 Rabin 密码系统的 4 对 1 解密歧义问题。通过引入一种新颖的密钥结构，使用 $e_{A1} = p^2q$ 和 $e_{A2} = pq^2$，实现了 $O(n^2)$ 复杂度的唯一解密，其速度优于 RSA、ECC 和 ElGamal，同时支持更大的数据传输（每块最多 4n 比特），并为低功耗设备提供了简单高效的数学结构。

ABSTRACT

The square root modulo problem is a known primitive in designing an asymmetric cryptosystem. It was first attempted by Rabin. Decryption failure of the Rabin cryptosystem caused by the 4-to-1 decryption output is overcome efficiently in this work. The proposed scheme (known as the AA_β- cryptosystem) has its encryption speed having a complexity order faster than the Diffie-Hellman Key Exchange, El-Gammal, RSA and ECC. It can also transmit a larger data set securely when compared to existing asymmetric schemes. It has a simple mathematical structure. Thus, it would have low computational requirements and would enable communication devices with low computing power to deploy secure communication procedures efficiently.

研究动机与目标

• 解决 Rabin 密码系统中因 4 对 1 解密失败而阻碍其实际部署的问题，尽管其效率较高。
• 设计一种加密系统，使加密和解密的复杂度均为 $O(n^2)$，超越 RSA、ECC 和 ElGamal 的速度。
• 在不增加计算开销的前提下，实现更大数据块（最多 4n 比特）的安全传输。
• 通过多个困难问题确保安全性：整数分解、模合数的平方根和模约简，所有问题均在未知因子分解的前提下成立。
• 为计算能力较低的设备提供简单数学结构，同时保持强安全性。

提出的方法

• 该方案使用两个公钥：$e_{A1} = p^2q$ 和 $e_{A2} = pq^2$，其中 $p$ 和 $q$ 为大素数，用于定义加密方程 $C \equiv U e_{A1} + V^2 e_{A2} \pmod{N}$。
• 加密仅涉及基本的乘法和模加法，避免了除法或大模指数等昂贵操作。
• 解密使用私钥 $(p,q)$ 计算模 $e_{A1}$ 的平方根，并对 $U$ 模 $e_{A2}$ 进行约简，通过同余方程组确保唯一明文恢复。
• 该系统利用中国剩余定理和二次剩余的性质，解决了 Rabin 方案中的四根歧义问题。
• 安全性基于在不知道 $e_{A1} = p^2q$ 因子分解的情况下，无法求解 $V^2 \equiv \alpha \pmod{e_{A1}}$，以及在模 $e_{A2}$ 约简前计算 $U$ 的困难性。
• 该方案设计为 $\gcd(e_{A1}, e_{A2}) = 1$，确保同余方程组唯一确定明文。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持 Rabin 密码系统计算效率的同时，解决其 4 对 1 解密歧义问题？
• RQ2 能否设计一种非对称密码系统，使加密和解密的复杂度均为 $O(n^2)$，并支持大块数据传输？
• RQ3 能否将模平方根问题作为新密码系统的安全原 primitive，避免已知攻击（如 Coppersmith 攻击或格攻击）？
• RQ4 所提出的 $AA_{\beta}$-密码系统在速度和块大小方面是否优于 RSA、ECC 和 NTRU？
• RQ5 该方案能否构建为简单数学结构，以实现在资源受限设备上的低计算量部署？

主要发现

• $AA_{\beta}$-密码系统在加密和解密中均实现 $O(n^2)$ 复杂度，优于 RSA、ECC 和 ElGamal 的 $O(n^3)$ 复杂度。
• 该方案每加密一次可支持最多 4n 比特明文传输，显著大于 RSA 或 ECC 的典型块大小。
• 密文扩展比为 $1:1.75$，优于 RSA 的 $1:1$（大块数据下），表明在大容量数据传输中效率更高。
• 通过基于 $e_{A1} = p^2q$ 和 $e_{A2} = pq^2$ 的密钥结构，系统确保唯一解密，可从四个可能的根中恢复唯一明文。
• 由于在未分解 $e_{A1}$ 的前提下无法计算满足 $V^2 \equiv \alpha \pmod{e_{A1}}$ 的 $V$，该方案对 Coppersmith 类攻击和格攻击具有抗性。
• 证明了求解同余式 $C \equiv V^2 \pmod{e_{A1}}$ 等价于分解 $e_{A1}$，从而确立了破解该方案等价于求解整数分解问题。