[论文解读] A new embedded variable stepsize, variable order family of low computational complexity

Victor DeCaria, Ahmet Guzel+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文提出 MOOSE234，一种新型嵌入式变步长、变阶数（VSVO）隐式时间积分器族，用于常微分方程（ODE），可实现二阶、三阶和四阶精度，且计算成本与 BDF3 相当。通过在 BDF3 求解结果上应用线性时间滤波，该方法以可忽略的额外开销生成更高阶近似解和误差估计，从而实现高效、非侵入式且可并行化的实现，适用于传统 CFD 代码。

ABSTRACT

Variable Stepsize Variable Order (VSVO) methods are the methods of choice to efficiently solve a wide range of ODEs with minimal work and assured accuracy. However, VSVO methods have limited impact in timestepping methods in complex applications due to their computational complexity and the difficulty to implement them in legacy code. We introduce a family of implicit, embedded, VSVO methods that require only one BDF solve at each time step followed by adding linear combinations of the solution at previous time levels. In particular, we construct implicit and linearly implicit VSVO methods of orders two, three and four with the same computational complexity as variable stepsize BDF3. The choice of changing the order of the method is simple and does not require additional solves of linear or nonlinear systems.

研究动机与目标

• 解决在流体动力学等复杂应用中 VSVO 方法采用率有限的问题，原因在于计算复杂度高和实现困难。
• 通过最小化额外计算成本，克服传统 VSVO 方法在每个时间步需要多次非线性求解的障碍。
• 通过将高阶精度与额外求解解耦，实现对传统 CFD 代码的非侵入式、支持并行的集成。
• 开发一组嵌入式方法，其中误差估计和更高阶解通过在单次 BDF3 求解后应用后处理滤波生成。
• 确保二阶变体具有 A-稳定性和 G-稳定性，同时保持变步长和变阶数选择的低计算复杂度。

提出的方法

• 通过在 BDF3 解上应用线性时间滤波，构造一种滤波 BDF3 方法（FBDF4），以实现四阶精度。
• 向 BDF3 解引入第二种滤波器 BDF3-Stab，以生成二阶、A-稳定且 G-稳定的近似解。
• 利用滤波解之间的差异（例如 $y^2_{n+1} - y^3_{n+1}$）作为自适应时间步长的嵌入式误差估计。
• 将方法表述为单步法（OLM），以确保有利的稳定性特性，并与变步长策略兼容。
• 通过使用过去解值的线性组合设计滤波器，以保持低计算成本和 SIMD 并行性。
• 在第 4 节中实现一种变步长算法，利用嵌入式误差估计动态选择时间步长和阶数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过时间滤波方法，仅基于一次 BDF3 求解，生成高阶、嵌入式且稳定的格式，且额外计算开销可忽略？
• RQ2 从后向欧拉方法出发，通过线性时间滤波最多可实现多大阶数？该限制如何影响设计方法？
• RQ3 能否构建一种计算复杂度与 BDF3 相当的变步长、变阶数（VSVO）算法，同时保持精度和稳定性？
• RQ4 如何在不增加非线性系统求解次数的前提下，将误差估计嵌入求解过程中？
• RQ5 所得到的方法能否在传统 CFD 代码中高效实现，且仅需极少代码修改，并支持并行架构？

主要发现

• 该方法在每个时间步仅使用一次 BDF3 求解，即可实现二阶、三阶和四阶精度，更高阶解和误差估计通过线性时间滤波获得。
• 二阶变体（BDF3-Stab）被证明具有 A-稳定性和 G-稳定性，确保其在刚性问题上的鲁棒性。
• 整个嵌入式方法族的计算开销主要由单次 BDF3 求解主导，滤波步骤的额外开销可忽略不计。
• 误差估计 $Est_2 = y^2_{n+1} - y^3_{n+1}$ 和 $Est_3 = y^4_{n+1} - y^3_{n+1}$ 为嵌入式设计，无需额外函数求值。
• MOOSE234 方法在 Van der Pol 问题上表现良好，且其线性隐式版本成功求解了不可压 Navier-Stokes 方程。
• 该方法实现了对传统 CFD 代码的非侵入式、支持 SIMD、可并行化的高效集成，克服了 VSVO 方法推广的关键障碍。