[论文解读] A new estimator for Weibull distribution parameters: Comprehensive comparative study for Weibull Distribution

Sahar Sadani, Kamel Abdollahnezhad+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新型U-统计量估计器，用于两参数Weibull分布的形状和尺度参数，证明了其一致性和渐近正态性。通过广泛的蒙特卡洛模拟，该U-统计量在大样本量下相较于九种现有估计器在偏差方面表现更优，尤其在n ≥ 1000时，对形状和尺度参数的估计表现尤为出色。

ABSTRACT

Weibull distribution has received a wide range of applications in engineering and science. The utility and usefulness of an estimator is highly subject to the field of practitioner's study. In practice users looking for their desired estimator under different setting of parameters and sample sizes. In this paper we focus on two topics. Firstly, we propose $U$-statistics for the Weibull distribution parameters. The consistency and asymptotically normality of the introduced $U$-statistics are proved theoretically and by simulations. Several of methods have been proposed for estimating the parameters of Weibull distribution in the literature. These methods include: the generalized least square type 1, the generalized least square type 2, the $L$-moments, the Logarithmic moments, the maximum likelihood estimation, the method of moments, the percentile method, the weighted least square, and weighted maximum likelihood estimation. Secondary, due to lack of a comprehensive comparison between the Weibull distribution parameters estimators, a comprehensive comparison study is made between our proposed $U$-statistics and above nine estimators. Based on simulations, it turns out that the our proposed $U$-statistics show the best performance in terms of bias for estimating the shape and scale parameters when the sample size is large.

研究动机与目标

• 开发一种基于U-统计量的新型估计器，用于两参数Weibull分布的形状和尺度参数。
• 建立所提U-统计量的理论性质，包括一致性和渐近正态性。
• 在不同样本大小和参数配置下，对十种估计方法进行全面比较研究。
• 根据样本大小和期望性能指标（偏差、RMSE），为实践者提供最优估计器的选择指导。

提出的方法

• 利用顺序统计量和i.i.d. Weibull变量的分布性质（即min(X₁, X₂) ≡ 2^(-1/α)X₁），推导Weibull分布参数的U-统计量。
• 应用一个关键引理，建立两个i.i.d. Weibull变量最小值与单个变量缩放版本之间的分布等价性。
• 基于对称核函数，应用U-统计量理论构造形状(α)和尺度(β)参数的估计器。
• 在正则条件下，证明所提U-统计量估计器的渐近正态性和一致性。
• 在多个参数设置（α = 0.5, 2.5；β = 0.5, 2.5）和样本大小（n = 100, 400, 1000, 4000）下开展蒙特卡洛模拟。
• 通过偏差和均方根误差（RMSE）比较十种估计器的表现：GLS1, GLS2, LM, MLM, MLE, MM, PM, U-statistic, WLS, WMLE。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不同样本大小下，所提出的U-统计量估计器在形状和尺度参数估计中的偏差和RMSE表现，相较于九种已有估计器如何？
• RQ2 在大样本量（n ≥ 1000）下，哪种估计器在估计形状和尺度参数时偏差最低？
• RQ3 在小样本和大样本下，U-统计量在RMSE方面相对于MLE、WLS和GLS方法的性能排名如何？
• RQ4 U-统计量在不同形状和尺度参数组合下是否保持优越性能？
• RQ5 估计器的性能排名是否随样本大小和参数配置的变化而改变？

主要发现

• 在大样本量（n ≥ 1000）下，U-统计量估计器在所有测试的参数组合中，对形状和尺度参数的偏差均最低。
• 在小样本量（n = 100）下，加权最小二乘法（WLS）估计器在偏差方面表现最佳。
• 百分位数法（PM）在形状参数估计中产生了最高的RMSE，表明其在所有估计器中RMSE表现最差。
• 加权最小二乘法（WLS）在所有样本大小下均实现了形状参数估计的最低RMSE。
• 广义最小二乘类型-I（GLS1）估计器在所有比较方法中，大样本量下的偏差表现最差。
• 在包含72个观测值的寿命数据实际应用中，U-统计量的柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫（KS）检验统计量为0.0934，CVM为0.0591，在拟合优度指标上优于MLE和WMLE。