[论文解读] A new exponent of simultaneous rational approximation

Anthony Poëls|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

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一句话总结

本文引入了一个新的指数 $ ilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$，用于同时丢番图逼近，其定义为控制在可变衰减率 $|x_0|^{-\mu}$ 下逼近行为的指数 $ ilde{\lambda}_\mu(\xi, \eta)$ 的下确界。通过参数数论几何方法，作者完全刻画了 $1, \xi, \eta$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关的对 $(\xi, \eta)$ 的 $(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ 的谱，证明了 $\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1$，$\lambda > 1/2$，且 $\tilde{\lambda}_{\min}^2 / (1 - \tilde{\lambda}_{\min}) \leq \lambda$，并通过显式构造实现了等号成立的情况。

ABSTRACT

We introduce a new exponent of simultaneous rational approximation $\widehat{\lambda}_{\min}(\xi,\eta)$ for pairs of real numbers $\xi,\eta$, in complement to the classical exponents $\lambda(\xi,\eta)$ of best approximation, and $\widehat{\lambda}(\xi,\eta)$ of uniform approximation. It generalizes Fischler's exponent $\beta_0(\xi)$ in the sense that $\widehat{\lambda}_{\min}(\xi,\xi^2) = 1/\beta_0(\xi)$ whenever $\lambda(\xi,\xi^2) = 1$. Using parametric geometry of numbers, we provide a complete description of the set of values taken by $(\lambda,\widehat{\lambda}_{\min})$ at pairs $(\xi,\eta)$ with $1$, $\xi$, $\eta$ linearly independent over $\mathbf{Q}$.

研究动机与目标

• 定义并研究一个新的指数 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$，以改进经典的同步逼近指数 $\lambda(\xi, \eta)$ 和 $\tilde{\lambda}(\xi, \eta)$。
• 为在 $\mathbb{Q}$ 上与 $1$ 线性无关的对 $(\xi, \eta)$ 提供 $(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ 取值集合的完整刻画。
• 在 $\eta = \xi^2$ 的特殊情形下，将 $\tilde{\lambda}_{\min}$ 与 Fischler 的指数 $\beta_0(\xi)$ 联系起来，证明当 $\beta_0(\xi) < 2$ 时，有 $\beta_0(\xi) = 1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2)$。
• 探讨 $\lambda$、$\tilde{\lambda}$ 和 $\tilde{\lambda}_{\min}$ 的联合谱，并研究集合 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ 的结构。

提出的方法

• 将 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ 定义为 $\mu \in (0, \lambda(\xi, \eta))$ 的下确界，即 $\tilde{\lambda}_\mu(\xi, \eta)$，其中 $\tilde{\lambda}_\mu$ 控制满足 $\max(|x_0\xi - x_1|, |x_0\eta - x_2|) \leq \min(X^{-\lambda}, |x_0|^{-\mu})$ 的解。
• 利用参数数论几何框架，分析三元函数系统 $P = (P_1, P_2, P_3)$ 背景下连续最小值的行为。
• 在 $[q_0, \infty)$ 上显式构造三元系统 $P$，使得 $\psi(P_3) = \lambda / (1 + \lambda)$ 且 $\kappa(P_3) = \tilde{\lambda}_{\min} / (1 + \tilde{\lambda}_{\min})$，并满足所需的渐近条件。
• 通过两种主要情形（$\tilde{\lambda}_{\min} > 1/2$ 与 $\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1/2$）建立谱的刻画，利用序列 $q_k$ 及辅助点 $s_k, t_k, r_k$ 控制增长与比值。
• 借助 Davenport 和 Schmidt 以及 Schleischitz 的已知结果，证明当 $\beta_0(\xi) < 2$ 时，有 $\lambda(\xi, \xi^2) = 1$，从而建立 $\beta_0$ 与 $\tilde{\lambda}_{\min}$ 之间的联系。
• 利用连分数理论及连分数极限值的集合 $S$，描述 $\lambda = 1$ 时 $1 / \tilde{\lambda}_{\min}$ 的取值范围，证明其等于 $[\gamma, \infty)$，其中 $\gamma = (1 + \sqrt{5})/2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $1, \xi, \eta$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关时，$(\lambda(\xi, \eta), \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta))$ 的可能取值集合的完整形式是什么？
• RQ2 在 $\eta = \xi^2$ 的情形下，$\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ 与 Fischler 的指数 $\beta_0(\xi)$ 有何关系？
• RQ3 $(\lambda, \tilde{\lambda}, \tilde{\lambda}_{\min})$ 的联合谱能否被完整描述？集合 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ 的结构是怎样的？
• RQ4 当 $b\lambda \in [0, 1]$ 时，集合 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ 的豪斯多夫维数是多少？

主要发现

• 对于在 $\mathbb{Q}$ 上与 $1$ 线性无关的三元组 $1, \xi, \eta$，$(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ 的谱由 $\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1$，$\lambda > 1/2$，且 $\tilde{\lambda}_{\min}^2 / (1 - \tilde{\lambda}_{\min}) \leq \lambda$ 完全刻画。
• 对几乎所有 $(\xi, \eta)$，有 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = 1/2$，这与经典 Dirichlet 估计一致。
• 当 $\lambda(\xi, \xi^2) = 1$ 时，集合 $\{1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2) \}$ 等于 $[\gamma, \infty)$，其中 $\gamma = (1 + \sqrt{5})/2$ 为黄金比例。
• 对于满足 $\beta_0(\xi) < 2$ 的 $\xi$，有 $\beta_0(\xi) = 1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2)$，建立了两个指数之间的直接联系。
• $\lambda = 1$ 时 $\tilde{\lambda}_{\min}$ 的谱为区间 $[\gamma, \infty)$，而对应 $\beta_0(\xi)$ 的集合具有空内部，显示出两者分布上的显著差异。
• $\tilde{\lambda} - \tilde{\lambda}_{\min}$ 的谱为 $[0, 1)$，并推测整个区间 $[0, 1]$ 均可实现，表明逼近谱中存在丰富的结构。