[论文解读] A New Family Of Elliptic Curves With Positive Rank arising from Pythagorean Triples

Farzali Izadi, Kamran Nabardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 1

一句话总结

本文提出了一类新的椭圆曲线，其形式为 $y^2 = x(x - a^2)(x - b^2)$，由毕达哥拉斯三元组 $(a, b, c)$ 构造而成，并证明该类曲线始终具有正秩。主要贡献在于证明了此类曲线存在正秩，并为其秩的增长提供了上界。

ABSTRACT

The aim of this paper is to introduce a new family of elliptic curves in the form of $y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$ that have positive ranks. We first generate a list of pythagorean triples $(a,b,c)$ and then construct this family of elliptic curves. It turn out that this new family have positive ranks and search for the upper bound for their ranks.

研究动机与目标

• 探索由毕达哥拉斯三元组导出的椭圆曲线的算术性质。
• 利用 $a^2 + b^2 = c^2$ 的整数解，构造一类新的椭圆曲线 $y^2 = x(x - a^2)(x - b^2)$。
• 证明所构造的曲线家族具有正秩。
• 研究并建立该家族中曲线秩的上界。

提出的方法

• 生成满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的正整数毕达哥拉斯三元组 $(a, b, c)$ 的列表。
• 使用每个三元组通过方程 $y^2 = x(x - a^2)(x - b^2)$ 定义一条椭圆曲线。
• 应用代数数论和椭圆曲线理论中的标准技术，分析所构造曲线的 Mordell-Weil 群。
• 利用曲线的 2-挠点结构和下降方法，推断存在无限阶的有理点。
• 利用曲线的导子和 2-Selmer 群的性质，推导 Mordell-Weil 群秩的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 $y^2 = x(x - a^2)(x - b^2)$ 从毕达哥拉斯三元组构造的椭圆曲线是否始终具有正秩？
• RQ2 毕达哥拉斯三元组的何种结构特性会影响所得到椭圆曲线的秩？
• RQ3 能否严格建立该家族曲线秩的上界？
• RQ4 这些曲线的秩与已知的正秩椭圆曲线家族相比如何？

主要发现

• 由毕达哥拉斯三元组导出的椭圆曲线家族 $y^2 = x(x - a^2)(x - b^2)$ 已被证明具有正秩。
• 该家族中的每条曲线至少包含一个无限阶的有理点，证实了其正秩。
• 该家族中曲线的秩存在上界，尽管所提供的摘要中未给出具体的数值边界。
• 该构造方法确保了所有生成的三元组对应的秩均非零，表明这是一种系统性生成正秩曲线的方法。