[论文解读] A new family of elliptic curves with positive ranks arising from the Heron triangles

Farzali Izadi, Foad Khoshnam+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出了一类新的在ℚ上的椭圆曲线族，其来源于边长和面积均为有理数的赫罗恩三角形，通过边长a(k)、b(k)和c(k)的参数化公式推导得出。通过将赫罗恩三角形的面积公式转化为魏尔斯特拉斯形式，作者构建了具有ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ torsion群的曲线，并证明对于所有k ∈ ℚ，其秩至少为1。主要贡献在于显式构造出具有正秩的曲线，包括秩高达6的实例，通过代数几何与计算验证，证明了此类曲线的存在性。

ABSTRACT

The aim of this paper is to introduce a new family of elliptic curves with positive ranks. These elliptic curves have been constructed with certain rational numbers, namely a, b, and c as sides of Heron triangles having rational areas $k$. It turned out that the torsion groups of this family are of the form $\frac{\Bbb{Z}}{2\Bbb{Z}} imes \frac{\Bbb{Z}}{2\Bbb{Z}}$ and also the rank is positive.

研究动机与目标

• 构造ℚ上具有正Mordell-Weil秩的新的无限椭圆曲线族。
• 确立这些曲线的扭子群同构于ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ。
• 证明对于所有有理参数k，所构造曲线的秩至少为1。
• 计算并分析在1 ≤ k ≤ 100范围内大量k值下该族的秩分布，识别出高秩曲线。

提出的方法

• 使用有理参数k对有理赫罗恩三角形进行参数化，其中边长a(k)、b(k)和c(k)来自已知的有理面积三角形族。
• 通过坐标变换将赫罗恩公式S² = P(P−a)(P−b)(P−c)转化为魏尔斯特拉斯形式：(u,v) → (1/ζ, η/ζ²) 与 (ζ,η) → (−x/abc, y/abc)，得到y² = (x+ab)(x+bc)(x+ac)。
• 进一步进行坐标平移x → x − a(k)c(k)，将曲线表示为y² = x³ + Ax² + Bx的形式，以利于扭子群与秩的分析。
• 应用Kubert判别准则，通过验证三次方程的根非零且互异，确认扭子群为ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ。
• 使用计算工具（Sage、MWRANK）对1 ≤ k ≤ 100范围内100,000条曲线计算Mordell-Weil秩与Selmer秩。
• 使用和S(N,E) = Σₚ≤N (−aₚ + 2)/(p + 1 − aₚ) log p作为启发式方法，在完整秩计算前识别出可能具有高秩的候选曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从边长和面积均为有理数的赫罗恩三角形中构造出新的具有正秩的无限椭圆曲线族？
• RQ2 从这类赫罗恩三角形导出的椭圆曲线的扭子群结构是什么？
• RQ3 对于所有有理参数k，这些曲线的Mordell-Weil秩是否保证至少为1？
• RQ4 该族中秩的分布如何？能否显式找到高秩曲线（例如秩为6）？
• RQ5 启发式和S(N,E)在识别可能具有高秩的曲线方面有多高效？

主要发现

• 由y² = (x + a(k)b(k))(x + b(k)c(k))(x + a(k)c(k))定义的椭圆曲线族，对所有k ∈ ℚ \ {0, 2, -2}，其扭子群同构于ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ。
• 点(0, abc)位于曲线上且具有无限阶，证明对所有k ∈ ℚ，Mordell-Weil秩至少为1。
• 在1 ≤ k ≤ 100范围内，100,000条曲线中，23.4%的秩为4，36.7%的秩为3，16.2%的秩为2，表明中等至高秩曲线普遍存在。
• 显式计算出秩从1到6的曲线实例，包括在k = 98/625处的曲线，其秩为6。
• 在k = 11时，曲线秩为5；在k = 19时，秩为4；在k = 3时，秩为3；在k = 4时，秩为2；在k = 6时，秩为1。
• 在100,000条曲线中，19.5%的秩未被确定，表明在这些情况下Selmer秩或MWRANK计算未能明确确定实际秩。