[论文解读] A new family of MRD-codes

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Coding theory and cryptography被引用 1

一句话总结

本文提出了一类新的 Fq-线性最大分散子空间族，定义于 Fq^{2n} × Fq^{2n}，由集合 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}} 给出，其中 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 且 gcd(s,n) = 1。这些子空间生成了新的、非等价的 MRD 码，参数为 (6,6,q;5)（当 q > 2 时）和 (8,8,q;7)（当 q 为奇数时），扩展了已知的 Gabidulin 和 Sheekey 类型构造之外的 MRD 码家族。

ABSTRACT

We introduce a family of linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^{2n})$ arising from maximum scattered linear sets of pseudoregulus type of $\mathrm{PG}(3,q^{n})$. For $n=3,4$ and for certain values of the parameters we show that these linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^{2n})$ are maximum scattered and they yield new MRD-codes with parameters $(6,6,q;5)$ for $q>2$ and with parameters $(8,8,q;7)$ for $q$ odd.

研究动机与目标

• 为特定的 q 构造新的 Fq-线性 MRD 码族，参数为 (6,6,q;5) 和 (8,8,q;7)。
• 证明新线性集为最大分散，并且不等价于先前已知的 MRD 码构造。
• 通过 PG(3,q^n) 中的伪规则线性集，推广在 Fq^{2n} × Fq^{2n} 中最大分散 Fq-子空间的构造。
• 为 m=6 和 m=8 明确给出此类子空间的无限族，分别对应 q ≥ 3 和奇数 q。

提出的方法

• 对满足 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 且 1 ≤ s ≤ 2n−1、gcd(s,n)=1 的 b ∈ Fq^{2n}，定义 Fq-子空间 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}}。
• 通过关联矩阵的秩和维数分析，证明线性集 L_{Ub,s} 中每个点的权至多为 2。
• 利用线性映射矩阵的 6×6 子矩阵的行列式，证明仅 ⟨(1,0)⟩ 可能具有权 >2，且当 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 时该点被排除。
• 对于 m=6 和 m=8，通过验证定理 7.2 中的行列式表达式在 b² = −1 时不为零，证明子空间 Ub,1 为最大分散。
• 利用有限域扩张上的迹函数和范数函数，分析关键表达式的消失性，排除非分散情形。
• 使用计算工具（GAP）验证小 q 情况下的分散性，并支持关于产生最大分散子空间的范数值数量的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在已知的 Gabidulin 和 Sheekey 类型家族之外，构造出新的 Fq-子空间族，使其在 Fq^{2n} × Fq^{2n} 中为最大分散？
• RQ2 从这些新子空间导出的 MRD 码是否与具有相同参数的先前已知 MRD 码非等价？
• RQ3 b ∈ Fq^{2n} 的哪些条件可确保子空间 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}} 为最大分散？
• RQ4 对于固定的 m=2n，当 b 取遍满足 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 的值时，该族 Ub,s 会产生多少个非等价的最大分散子空间？
• RQ5 这些构造是否能产生新的函数和阻塞集实例，使其在方向集和 Rédei 型阻塞集中达到理论最大大小？

主要发现

• 当 m=6 且 q>2 时，子空间 Ub,1 满足 b² = −1，其在 Fq^6 × Fq^6 中为最大分散 Fq-子空间，从而生成一个参数为 (6,6,q;5) 的新 MRD 码。
• 当 m=8 且 q 为奇数时，子空间 Ub,1 满足 b² = −1，在 Fq^8 × Fq^8 中为最大分散，生成一个参数为 (8,8,q;7) 的新 MRD 码。
• 当 m>4 且 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 时，所构造的线性集 L_{Ub,s} 为最大分散，且所有点的权至多为 2。
• 对应的 MRD 码与任何先前已知的同参数 MRD 码均不等价，该结论通过理论分析和计算验证得到确认。
• 对于 q ≤ 32，产生最大分散子空间的范数值 N_{q^6/q^3}(b) 的不同值数量被猜想为 ⌊(q²+q+1)(q−2)/2⌋，暗示该族中存在更多新示例。
• GAP 的计算结果确认了在 m=6 情况下 q=3,4 时的分散性，以及在 m=8 情况下 q≤8（偶数）和 q≤11（奇数）时的分散性，支持了理论结果。