[论文解读] A new formulation of asset trading games in continuous time with essential forcing of variation exponent

Kei Takeuchi, Masayuki Kumon+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Aug 2, 2007

Financial Markets and Investment Strategies被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新的连续时间资产交易博弈的博弈论框架，其中投资者在离散、路径依赖的时间点进行交易，从而可基本强制使资产价格路径的变分指数恰好为二。通过将高频离散时间贝叶斯策略嵌入连续时间，并利用Kullback–Leibler信息，即使不假设分数布朗运动等随机过程，当市场路径偏离二次变分时，投资者仍可实现资本的指数增长。

ABSTRACT

We introduce a new formulation of asset trading games in continuous time in the framework of the game-theoretic probability established by Shafer and Vovk (Probability and Finance: It's Only a Game! (2001) Wiley). In our formulation, the market moves continuously, but an investor trades in discrete times, which can depend on the past path of the market. We prove that an investor can essentially force that the asset price path behaves with the variation exponent exactly equal to two. Our proof is based on embedding high-frequency discrete-time games into the continuous-time game and the use of the Bayesian strategy of Kumon, Takemura and Takeuchi (Stoch. Anal. Appl. 26 (2008) 1161--1180) for discrete-time coin-tossing games. We also show that the main growth part of the investor's capital processes is clearly described by the information quantities, which are derived from the Kullback--Leibler information with respect to the empirical fluctuation of the asset price.

研究动机与目标

• 在博弈论概率框架内，为资产交易博弈建立一个可处理的连续时间公式，避免使用非标准分析。
• 使具有路径依赖时间的离散时间交易策略能够影响连续价格路径的长期行为。
• 确立投资者可强制使市场路径的变分指数恰好为二的条件，无论市场实际行为如何。
• 以经验波动与期望波动之间的Kullback–Leibler散度来表征投资者资本的增长，将信息论与金融策略相联系。
• 提供适用于个别连续价格路径的路径相关结果，避免对市场动态的概率假设。

提出的方法

• 构建一个连续时间博弈，其中市场连续移动，但投资者仅在离散、依赖过去历史的时间点进行交易。
• 采用限价单策略，当价格变动达到预设阈值时触发交易，实现在不假设市场随机性的前提下的高频交易。
• 将先前为抛硬币博弈开发的高频离散时间贝叶斯策略嵌入连续时间框架。
• 将Kumon、Takemura与Takeuchi（2008）提出的贝叶斯策略应用于离散时间博弈，使用β-二项分布先验来建模对价格走势的信念。
• 使用信息论量（特别是经验波动与期望波动之间的Kullback–Leibler散度）来表达投资者资本的增长。
• 通过将Kullback–Leibler散度近似为总变分与局部波动参数，分析资本过程的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续时间市场中，投资者是否能仅通过离散、路径依赖的交易，强制使资产价格路径的变分指数恰好为二？
• RQ2 在不假设随机过程的前提下，投资者资本的增长如何依赖于市场路径偏离二次变分的程度？
• RQ3 Kullback–Leibler信息在量化博弈论框架下资本指数增长方面起到什么作用？
• RQ4 高频离散时间限价单策略能否被嵌入连续时间博弈中，以实现对市场属性的路径相关控制？
• RQ5 在何种条件下投资者资本会发散至无穷大，这与价格路径的赫ölder指数有何关联？

主要发现

• 投资者可通过基于贝叶斯更新的高频限价单策略，基本强制使资产价格路径的变分指数恰好为二。
• 当市场路径的赫ölder指数H > 0.5且局部波动|L(T)| ≥ A/4时，资本实现指数增长，导致投资者资本发散至无穷大。
• 当路径的总变差近似为caBk时，资本增长率渐近由涉及a(1−B)k和L2(T)的项决定，主导项取决于路径波动与变差的比值。
• 当a1 = a2时，资本的指数增长部分由a(1−B)k / c × L2(T)描述，当H > 0.5且|L(T)| ≥ A/4时，该分量主导资本增长。
• 当a1 ≠ a2时，若H > 0.5且|L(T)| ≥ A/4，资本仍发散至无穷大；且当H < 0.5时也发散，表明该策略在不同路径正则性下均具鲁棒性。
• 资本的指数增长被Kullback–Leibler散度精确量化，该散度衡量经验价格波动与假设二次变差下期望行为之间的差异，从而在信息论与金融表现之间建立直接联系。